Упр.126 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически неравенство:
а) $$\log\left(\frac{1}{2};x\right)>x-3$$;
б) $$\sqrt{x-2}\ ?\ \frac{3}{x}$$;
в) $$2^{-|x|}\ ?\ x^2+1$$;
г) $$\log\left(\frac{1}{3};x\right)>2x-7$$.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое неравенство графически, то есть найдём промежутки, где график одной функции расположен выше графика другой.

$$\log_{\frac12} x > x-3.$$
Область определения: $$x>0.$$
Графики функций $$y=\log_{\frac12} x$$ и $$y=x-3$$ пересекаются при $$x=2.$$
На промежутке $$0<x<2$$ график логарифмической функции расположен выше прямой, значит неравенство выполняется.
$$x\in(0;2).$$
$$\sqrt{x-2}\le \frac{3}{x}.$$
Область определения: $$x-2\ge 0,\; x\ne 0.$$ Следовательно, $$x\ge 2.$$
Графики функций $$y=\sqrt{x-2}$$ и $$y=\frac{3}{x}$$ пересекаются при $$x=2$$ и $$x=3.$$
На отрезке между точками пересечения график $$y=\sqrt{x-2}$$ не выше графика $$y=\frac{3}{x},$$ поэтому
$$x\in[2;3].$$
$$2^{-|x|}\ge x^2+1.$$
Так как $$2^{-|x|}\le 1$$ при любом $$x,$$ а $$x^2+1\ge 1,$$ то равенство возможно только при $$x=0.$$
Проверка: $$2^{-|0|}=1,\quad 0^2+1=1.$$
Значит,
$$x\in\{0\}.$$
$$\log_{\frac13} x > 2x-7.$$
Область определения: $$x>0.$$
Графики функций $$y=\log_{\frac13} x$$ и $$y=2x-7$$ пересекаются при $$x=3.$$
На промежутке $$0<x<3$$ график логарифмической функции расположен выше прямой, значит неравенство выполняется.
$$x\in(0;3).$$