Упр.126 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений: а) $$\begin{cases} u+v=2,\\ |3u-v|=1; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} |x-1|+|y-2|=1,\\ y+|x-1|=3. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

а)

$$\begin{cases} u+v=2,\\ |3u-v|=1 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$v$$:

$$v=2-u.$$

Подставим во второе уравнение:

$$|3u-(2-u)|=1$$

$$|4u-2|=1.$$

Тогда возможны два случая:

$$4u-2=1 \quad \text{или} \quad 4u-2=-1.$$

1) $$4u-2=1$$, откуда $$u=\frac34$$, тогда

$$v=2-\frac34=\frac54.$$

2) $$4u-2=-1$$, откуда $$u=\frac14$$, тогда

$$v=2-\frac14=\frac74.$$

Итак, решения системы:

$$\left(\frac14;\frac74\right),\ \left(\frac34;\frac54\right).$$

б)

$$\begin{cases} |x-1|+|y-2|=1,\\ y+|x-1|=3 \end{cases}$$

Обозначим $$a=|x-1|$$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} a+|y-2|=1,\\ y+a=3 \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$a=3-y.$$

Подставим в первое:

$$3-y+|y-2|=1,$$

$$|y-2|=y-2.$$

Отсюда $$y\ge 2$$. Тогда из уравнения $$a=3-y$$ получаем

$$3-y\ge 0,\quad y\le 3.$$

Значит,

$$2\le y\le 3.$$

Теперь найдём $$x$$:

$$|x-1|=3-y,$$

поэтому

$$x-1=\pm(3-y).$$

Следовательно,

$$x=1\pm(3-y).$$

Итак, решения системы:

$$\bigl(1\pm(3-y);\ y\bigr),\quad 2\le y\le 3.$$

Ответ

а) $$\left(\frac14;\frac74\right),\ \left(\frac34;\frac54\right);$$ б) $$\bigl(1\pm(3-y);\ y\bigr),\ 2\le y\le 3.$$