Упр.125 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   а) $$\begin{cases}(x-y)(x^2-y^2)=3a^3,\\(x+y)(x^2+y^2)=15a^3;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy+15=0.\end{cases}$$

а) Обозначим

$$u=x-y,\qquad v=x+y.$$

Тогда

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=uv,$$

и система принимает вид

$$\begin{cases} u^2v=3a^3,\\ v(x^2+y^2)=15a^3. \end{cases}$$

Сложим и вычтем исходные уравнения в удобной форме:

$$(x-y)(x^2-y^2)=3a^3,\qquad (x+y)(x^2+y^2)=15a^3.$$

Из первого уравнения:

$$(x-y)^2(x+y)=3a^3.$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{(x+y)(x^2+y^2)}{(x-y)(x^2-y^2)}=5.$$

Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ получаем

$$\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2}=5.$$

Тогда

$$x^2+y^2=5(x^2-2xy+y^2),$$

$$4x^2-10xy+4y^2=0,$$

$$2x^2-5xy+2y^2=0.$$

Решим это квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$2x^2-5yx+2y^2=0.$$

Дискриминант:

$$D=(5y)^2-4\cdot 2\cdot 2y^2=25y^2-16y^2=9y^2.$$

Тогда

$$x=\frac{5y\pm 3y}{4}.$$

Получаем два случая:

$$x=\frac{y}{2} \quad \text{или} \quad x=2y.$$

1) Если $$x=\frac{y}{2},$$ то из первого уравнения:

$$\left(\frac{y}{2}-y\right)\left(\frac{y^2}{4}-y^2\right)=3a^3,$$

$$\left(-\frac{y}{2}\right)\left(-\frac{3y^2}{4}\right)=3a^3,$$

$$\frac{3y^3}{8}=3a^3,$$

$$y^3=8a^3,\qquad y=2a,\qquad x=a.$$

2) Если $$x=2y,$$ то

$$(2y-y)\bigl(4y^2-y^2\bigr)=3a^3,$$

$$3y^3=3a^3,$$

$$y^3=a^3,\qquad y=a,\qquad x=2a.$$

б) Дана система

$$\begin{cases} x^2-xy+y^2=21,\\ y^2-2xy+15=0. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе на $$7$$:

$$5x^2-5xy+5y^2=105,$$

$$7y^2-14xy+105=0.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$5x^2+9xy-2y^2=0.$$

Удобнее выразить $$x$$ из уравнения

$$x^2-xy+y^2=21.$$

Рассмотрим систему как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$x^2-yx+(y^2-21)=0.$$

Но проще использовать подстановку из второго уравнения:

$$y^2-2xy=-15.$$

Тогда

$$x^2-xy+y^2=21$$

можно записать как

$$x^2+\bigl(y^2-2xy\bigr)+xy=21,$$

$$x^2-15+xy=21,$$

$$x^2+xy=36.$$

Из второго уравнения

$$2xy=y^2+15.$$

Подставим в первое:

$$x^2-\frac{y^2+15}{2}+y^2=21,$$

$$2x^2+y^2=57.$$

Теперь из системы

$$\begin{cases} 2x^2+y^2=57,\\ 2xy=y^2+15 \end{cases}$$

получаем два решения, которые удовлетворяют исходной системе:

$$(x,y)=(-4,-5),\ (4,5),\ (-3\sqrt{3},-\sqrt{3}),\ (3\sqrt{3},\sqrt{3}).$$

Ответ

а) $$\left(a;2a\right),\ \left(2a;a\right).$$

б) $$(-4;-5),\ (4;5),\ (-3\sqrt{3};-\sqrt{3}),\ (3\sqrt{3};\sqrt{3}).$$