Упр.124 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):
   а) $$y=\sqrt{36-x^2}$$;
   б) $$y=\begin{cases}\frac{1}{x+1},&0\leq x\leq 7,\\x^3+1,&-2\leq x<0;\end{cases}$$
   в) $$y=3^{\sin x}$$;
   г) $$y=\begin{cases}(x-1)^2,&-1\leq x<1,\\\log_2 x,&1\leq x\leq 8.\end{cases}$$

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на каждом промежутке.

1. $$y=\sqrt{36-x^2}.$$

   Так как $$0\le 36-x^2\le 36,$$ то

   $$0\le \sqrt{36-x^2}\le 6.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$6,$$ наименьшее — $$0.$$

2. $$y=\begin{cases} \dfrac{1}{x+1}, & 0\le x\le 7,\\ x^3+1, & -2\le x<0. \end{cases}$$

   При $$0\le x\le 7$$ имеем $$1\le x+1\le 8,$$ значит

   $$\frac18\le \frac{1}{x+1}\le 1.$$

   При $$-2\le x<0$$ имеем $$-8\le x^3<0,$$ поэтому

   $$-7\le x^3+1<1.$$

   Значит, наибольшее значение функции равно $$1,$$ наименьшее — $$-7.$$

3. $$y=3^{\sin x}.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$3^{-1}\le 3^{\sin x}\le 3^1,$$

   то есть

   $$\frac13\le 3^{\sin x}\le 3.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$3,$$ наименьшее — $$\frac13.$$

4. $$y=\begin{cases} (x-1)^2, & -1\le x<1,\\ \log_2 x, & 1\le x\le 8. \end{cases}$$

   На промежутке $$-1\le x<1$$ имеем $$-2\le x-1<0,$$ значит

   $$0<(x-1)^2\le 4.$$

   На промежутке $$1\le x\le 8$$ функция $$\log_2 x$$ возрастает, поэтому

   $$\log_2 1\le \log_2 x\le \log_2 8,$$

   то есть

   $$0\le \log_2 x\le 3.$$

   Следовательно, наибольшее значение функции равно $$4,$$ наименьшее — $$0.$$

Ответ: а) $$6,\ 0$$; б) $$1,\ -7$$; в) $$3,\ \frac13$$; г) $$4,\ 0$$.