Упр.124 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$ при $$a\ge0,\ b\ge0,\ c\ge0,\ d\ge0$$.

Пусть $$a \ge 0,\; b \ge 0,\; c \ge 0,\; d \ge 0.$$ Тогда

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(a+c)(b+d) \ge \left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$ab+ad+cb+cd \ge ab+2\sqrt{abcd}+cd.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ad+cb \ge 2\sqrt{abcd}.$$

Но

$$ad+cb-2\sqrt{abcd}=\left(\sqrt{ad}-\sqrt{cb}\right)^2 \ge 0.$$

Следовательно,

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$