Упр.122 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 122. Докажите неравенства (a+b)(a^3+b^3)?2(a^4+b^4).

Рассмотрим разность правой и левой частей:

$$2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3).$$

Раскроем скобки:

$$2a^4+2b^4-a^4-ab^3-a^3b-b^4=a^4-ab^3-a^3b+b^4.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^4-ab^3-a^3b+b^4=(a-b)(a^3-b^3).$$

Используем формулу разности кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда

$$2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2).$$

Так как $$\,(a-b)^2\ge 0\,$$ и $$\,a^2+ab+b^2>0\,$$ при любых действительных $$a$$ и $$b$$, то

$$ (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge 0.$$

Следовательно,

$$ (a+b)(a^3+b^3)\le 2(a^4+b^4). $$

Ответ

$$ (a+b)(a^3+b^3)\le 2(a^4+b^4). $$