Упр.121 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 121. Докажите неравенства 1/2^2+1/3^2+…+1/n^2 < (n-1)/n.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1. База индукции. При $$n=2$$ имеем

$$\frac{1}{2^2}=\frac14<\frac12=\frac{2-1}{2}.$$

Неравенство верно.

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}<\frac{k-1}{k}.$$

Докажем, что тогда

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k}{k+1}.$$

Действительно, из предположения индукции

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}.$$

Остаётся показать, что

$$\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k}{k+1}.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}-\frac{k}{k+1}<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(k-1)(k+1)^2+k-k^2(k+1)}{k(k+1)^2}<0.$$

Числитель упрощается:

$$ (k-1)(k+1)^2+k-k^2(k+1)=k-(k+1)=-1<0.$$

Значит,

$$\frac{k-1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{k}{k+1}.$$

Следовательно, если неравенство верно для $$n=k$$, то оно верно и для $$n=k+1$$.

По принципу математической индукции неравенство верно для всех $$n\ge 2$$.

Ответ

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}, \quad n\ge 2.$$