Упр.121 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=2vx-1; б) y=4^(x-1)-2;
в) y=1/2log(2; x+1); г) y=(x-2)^(1/3)+1.

1. а) $$y=2\sqrt{x}-1$$

   Найдём область определения: $$x \ge 0.$$
   Производная:
   $$y'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \ge 0,\quad x>0.$$
   Значит, функция возрастает на области определения.

   Область значений: $$E(y)=[-1;+\infty).$$

   Функция не является ни чётной, ни нечётной.
   $$y>0 \text{ при } x\in\left(\frac14;+\infty\right),\qquad y<0 \text{ при } x\in\left[0;\frac14\right).$$
   Нуль функции:
   $$2\sqrt{x}-1=0 \Rightarrow \sqrt{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac14.$$
   При $$x=0$$ имеем $$y=-1.$$

2. б) $$y=4^{x-1}-2$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
   Производная:
   $$y'(x)=4^{x-1}\ln 4 \ge 0,\quad x\in\mathbb R.$$
   Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

   Так как $$4^{x-1}>0,$$ то
   $$E(y)=(-2;+\infty).$$
   Функция не является ни чётной, ни нечётной.

   $$4^{x-1}-2=0 \Rightarrow 4^{x-1}=2 \Rightarrow x-1=\frac12 \Rightarrow x=\frac32.$$
   Значит, $$y=0$$ при $$x=\frac32.$$
   При $$x=0$$:
   $$y=4^{-1}-2=\frac14-2=-\frac74.$$

3. в) $$y=\frac12\log_2(x+1)$$

   Область определения:
   $$x+1>0 \Rightarrow x>-1,$$
   то есть $$D(y)=(-1;+\infty).$$

   Производная:
   $$y'(x)=\frac{1}{2(x+1)\ln 2} \ge 0,\quad x>-1.$$
   Значит, функция возрастает на области определения.

   Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
   Функция не является ни чётной, ни нечётной.

   $$\frac12\log_2(x+1)=0 \Rightarrow \log_2(x+1)=0 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0.$$
   При $$x=3$$:
   $$y=\frac12\log_2 4=\frac12\cdot 2=1.$$
   При $$x=0$$ имеем $$y=0.$$

4. г) $$y=\sqrt[3]{x-2}+1$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
   Производная:
   $$y'(x)=\frac13(x-2)^{-\frac23} \ge 0,\quad x\in\mathbb R,$$
   поэтому функция возрастает на всей области определения.

   Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
   Функция не является ни чётной, ни нечётной.

   $$\sqrt[3]{x-2}+1=0 \Rightarrow \sqrt[3]{x-2}=-1 \Rightarrow x-2=-1 \Rightarrow x=1.$$
   Значит, $$y=0$$ при $$x=1.$$
   При $$x=0$$:
   $$y=\sqrt[3]{-2}+1=1-\sqrt[3]{2}.$$

Ответ

а) $$D(x)=[0;+\infty),\ E(y)=[-1;+\infty),$$ функция возрастает; нуль: $$x=\frac14.$$
б) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-2;+\infty),$$ функция возрастает; нуль: $$x=\frac32.$$
в) $$D(x)=(-1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает; нуль: $$x=0.$$
г) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает; нуль: $$x=1.$$