Упр.12 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Постройте график функции:
а) y=2/(x-1); б) y=2-cos(x);
в) y=v(x+2); г) y=sin(x)-1.
3) Найдите точки пересечения графика функции f с осями координат:
а) f(x)=x^3-4x; б) f(x)=1/x+1;
в) f(x)=1-x^4; г) f(x)=1/(x-3).

1) График функции — это множество всех точек координатной плоскости, для которых $$y=f(x)$$, где $$x$$ принимает все значения из области определения функции $$D(f)$$.

2) Построим графики.

1. $$y=\frac{2}{x-1}$$
   
   Это график функции $$y=\frac{2}{x}$$, сдвинутый вправо на 1.
   
   Асимптоты: $$x=1$$ и $$y=0$$.
2. $$y=2-\cos x$$
   
   Это график $$y=-\cos x$$, сдвинутый вверх на 2.
   
   Значения функции: $$1 \le y \le 3$$.
3. $$y=\sqrt{x+2}$$
   
   Это график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый влево на 2.
   
   Область определения: $$x \ge -2$$.
4. $$y=\sin x-1$$
   
   Это график $$y=\sin x$$, сдвинутый вниз на 1.
   
   Значения функции: $$-2 \le y \le 0$$.

3) Найдём точки пересечения графиков с осями координат.

1. $$f(x)=x^3-4x$$
   
   С осью $$Oy$$: $$f(0)=0$$, значит точка $$ (0;0) $$.
   
   С осью $$Ox$$:
   $$ x^3-4x=0 \\ x(x^2-4)=0 \\ x(x-2)(x+2)=0 $$
   Отсюда $$x=0,\,-2,\,2$$.
   
   Точки пересечения: $$(-2;0),\ (0;0),\ (2;0)$$.
2. $$f(x)=\frac{1}{x}+1$$
   
   С осью $$Oy$$ график не пересекается, так как при $$x=0$$ функция не определена.
   
   С осью $$Ox$$:
   $$ \frac{1}{x}+1=0 \\ \frac{1}{x}=-1 \\ x=-1 $$
   Точка пересечения: $$(-1;0)$$.
3. $$f(x)=1-x^4$$
   
   С осью $$Oy$$: $$f(0)=1$$, значит точка $$ (0;1) $$.
   
   С осью $$Ox$$:
   $$ 1-x^4=0 \\ x^4=1 \\ x=\pm 1 $$
   Точки пересечения: $$(-1;0),\ (1;0),\ (0;1)$$.
4. $$f(x)=\frac{1}{x-3}$$
   
   С осью $$Oy$$: $$f(0)=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$, значит точка $$\left(0;-\frac{1}{3}\right)$$.
   
   С осью $$Ox$$:
   $$ \frac{1}{x-3}=0 $$
   Это уравнение решений не имеет, так как дробь с числителем 1 не может быть равна нулю.
   
   Следовательно, с осью $$Ox$$ график не пересекается.

Ответ

1) График функции — множество всех точек $$ (x;y) $$, для которых $$y=f(x)$$.

3) а) $$(-2;0),\ (0;0),\ (2;0)$$; б) $$(-1;0)$$; в) $$(-1;0),\ (1;0),\ (0;1)$$; г) с осью $$Oy$$: $$\left(0;-\frac{1}{3}\right)$$, с осью $$Ox$$ пересечений нет.