Упр.118 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите промежутки знакопостоянства каждой из функций: а) $$y=4^{x+2}-4^x$$; б) $$y=\lg(x-2)-1$$; в) $$y=vx+3$$; г) $$y=2-x^{\frac{1}{3}}$$.

а) $$y=4^{x+2}-4^x=4^x\cdot 4^2-4^x=4^x(16-1)=15\cdot 4^x.$$

Так как $$4^x>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R},$$ то $$y>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

б) $$y=\lg(x-2)-1.$$

Найдём, где функция положительна и где отрицательна:

$$\lg(x-2)-1>0 \iff \lg(x-2)>1 \iff x-2>10 \iff x>12.$$

С учётом области определения $$x>2,$$ получаем:

$$y>0 \text{ при } x>12,$$

$$y<0 \text{ при } 2<x<12.$$

в) $$y=\sqrt{x}+3.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$y=\sqrt{x}+3>0$$ при всех $$x\ge 0.$$

г) $$y=2-\sqrt[3]{x}.$$

Решим неравенства:

$$2-\sqrt[3]{x}>0 \iff \sqrt[3]{x}<2 \iff x<8.$$

Тогда

$$y>0 \text{ при } x<8,$$

$$y<0 \text{ при } x>8.$$

Ответ

а) $$y>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

б) $$y>0$$ при $$x>12,$$ $$y<0$$ при $$2<x<12.$$

в) $$y>0$$ при $$x\ge 0.$$

г) $$y>0$$ при $$x<8,$$ $$y<0$$ при $$x>8.$$