Упр.117 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите промежутки знакопостоянства каждой из функций: а) $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x-4$$; б) $$y=\log_4(x+3)$$; в) $$y=2-3^x$$; г) $$y=\sqrt{x}-4$$.
Для каждой функции найдём, где она положительна и где отрицательна.
$$y=\left(\frac12\right)^x-4$$
Найдём нули функции:
$$\left(\frac12\right)^x-4=0$$
$$\left(\frac12\right)^x=4=2^2$$
$$2^{-x}=2^2,\quad -x=2,\quad x=-2.$$
Так как функция $$\left(\frac12\right)^x$$ убывает, то
$$y>0 \text{ при } x<-2,\qquad y<0 \text{ при } x>-2.$$
$$y=\log_4(x+3)$$
Область определения: $$x+3>0,\; x>-3.$$
Найдём, где функция положительна и отрицательна:
$$\log_4(x+3)>0 \iff x+3>1 \iff x>-2,$$
$$\log_4(x+3)<0 \iff 0<x+3<1 \iff -3<x<-2.$$
Следовательно,
$$y>0 \text{ при } x>-2,\qquad y<0 \text{ при } -3<x<-2.$$
$$y=2-3^x$$
Найдём нули функции:
$$2-3^x=0$$
$$3^x=2$$
$$x=\log_3 2.$$
Так как функция $$3^x$$ возрастает, то
$$y>0 \text{ при } x<\log_3 2,\qquad y<0 \text{ при } x>\log_3 2.$$
$$y=\sqrt{x}-4$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём нули функции:
$$\sqrt{x}-4=0$$
$$\sqrt{x}=4$$
$$x=16.$$
Тогда
$$y>0 \text{ при } x>16,\qquad y<0 \text{ при } 0\le x<16.$$
Ответ: а) $$y>0$$ при $$x<-2$$, $$y<0$$ при $$x>-2$$; б) $$y>0$$ при $$x>-2$$, $$y<0$$ при $$-3<x<-2$$; в) $$y>0$$ при $$x<\log_3 2$$, $$y<0$$ при $$x>\log_3 2$$; г) $$y>0$$ при $$x>16$$, $$y<0$$ при $$0\le x<16$$.
