Упр.117 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите неравенства: а) $$x^{18}-x^{13}+x^{10}-x^7+x^2-x+1>0$$; б) $$x^{12}-x^9+x^4-x+1<0$$.
а) Рассмотрим выражение
$$x^{18}-x^{13}+x^{10}-x^7+x^2-x+1.$$
Исследуем его по промежуткам:
Если $$x<0,$$ то
$$x^{18}+x^{10}+x^2+1>0,$$
а
$$-x^{13}-x^7-x>0,$$
значит, всё выражение положительно.
Если $$0<x<1,$$ то
$$x^{18}+x^{10}-x^{13}-x^7+x^2-x+1=(x^{18}+x^{10}+x^2+1)-(x^{13}+x^7+x).$$
Так как при $$0<x<1$$ выполняется $$x^{18}<x^{13},\; x^{10}<x^7,\; x^2>x,$$ то удобнее сгруппировать так:
$$x^{18}+(x^{10}-x^{13})+(x^2-x^7)+(1-x).$$
Здесь $$x^{18}>0,$$ $$x^{10}-x^{13}>0,$$ $$x^2-x^7>0,$$ $$1-x>0,$$ значит, всё выражение положительно.
Если $$x>1,$$ то
$$x^{18}-x^{13}+x^{10}-x^7+x^2-x+1=(x^{18}-x^{13})+(x^{10}-x^7)+(x^2-x)+1.$$
Каждое слагаемое неотрицательно, а $$1>0,$$ значит, выражение снова положительно.
Следовательно, неравенство выполняется при всех действительных $$x$$.
б) Рассмотрим неравенство
$$x^{12}-x^9+x^4-x+1<0.$$
Если $$x<0,$$ то
$$x^{12}+x^4+1>0,$$
а
$$-x^9-x>0,$$
поэтому всё выражение положительно.
Если $$0<x<1,$$ то
$$x^{12}-x^9+x^4-x+1=(x^{12}+x^4+1)-(x^9+x).$$
При $$0<x<1$$ имеем $$x^{12}<x^9$$ и $$x^4>x,$$ но сумма $$x^{12}+x^4+1$$ всё равно больше $$x^9+x$$, так как $$1>0.$$ Значит, выражение положительно.
Если $$x>1,$$ то
$$x^{12}-x^9+x^4-x+1=(x^{12}-x^9)+(x^4-x)+1.$$
Здесь $$x^{12}-x^9>0,$$ $$x^4-x>0,$$ и $$1>0,$$ значит, всё выражение положительно.
Таким образом, левая часть всегда положительна, поэтому неравенство $$x^{12}-x^9+x^4-x+1<0$$ решений не имеет.
Ответ
а) $$(-\infty;\,+\infty)$$; б) $$\varnothing$$.
