Упр.116 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) x^4+3x^3+2x^2+3x+1 > 0;
б) (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)?17.

а) Преобразуем выражение:

$$x^4+3x^3+2x^2+3x+1=x^2\left(x^2+3x+2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right), \quad x\ne 0.$$

Удобно разделить на $$x^2$$:

$$x^2+3x+2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}>0.$$

Сгруппируем:

$$\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+3\left(x+\frac{1}{x}\right)>0.$$

Положим $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда

$$y^2=x^2+2+\frac{1}{x^2},$$

и неравенство принимает вид

$$y^2+3y>0,$$

то есть

$$y(y+3)>0.$$

Отсюда

$$y<-3 \quad \text{или} \quad y>0.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$x+\frac{1}{x}<-3$$, тогда

$$x^2+3x+1<0.$$

Корни уравнения $$x^2+3x+1=0$$:

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{-3-\sqrt5}{2}<x<\frac{-3+\sqrt5}{2}.$$

С учётом условия $$x\ne 0$$ получаем

$$\frac{-3-\sqrt5}{2}<x<0 \quad \text{или} \quad 0<x<\frac{-3+\sqrt5}{2}.$$

2) $$x+\frac{1}{x}>0$$, тогда

$$\frac{x^2+1}{x}>0.$$

Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, то это возможно только при

$$x>0.$$

Итак,

$$x\in\left(\frac{-3-\sqrt5}{2},0\right)\cup\left(0,\frac{-3+\sqrt5}{2}\right)\cup(0,+\infty).$$

Объединяя промежутки, получаем

$$x\in\left(\frac{-3-\sqrt5}{2},\frac{-3+\sqrt5}{2}\right)\cup(0,+\infty).$$

б) Имеем

$$ (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)\ge 17.$$

Сгруппируем множители:

$$\bigl((x-1)(x-6)\bigr)\bigl((x-3)(x-4)\bigr)\ge 17.$$

Тогда

$$ (x^2-7x+6)(x^2-7x+12)\ge 17.$$

Положим $$y=x^2-7x+9$$. Тогда

$$ (y-3)(y+3)\ge 17,$$

то есть

$$y^2-9\ge 17,$$

$$y^2\ge 26.$$

Следовательно,

$$y\le -\sqrt{26} \quad \text{или} \quad y\ge \sqrt{26}.$$

1) $$x^2-7x+9\le -\sqrt{26}$$, то есть

$$x^2-7x+9+\sqrt{26}\le 0.$$

Дискриминант:

$$D=49-4(9+\sqrt{26})=13-4\sqrt{26}<0.$$

Так как $$a>0$$, то решений нет.

2) $$x^2-7x+9\ge \sqrt{26}$$, то есть

$$x^2-7x+9-\sqrt{26}\ge 0.$$

Дискриминант:

$$D=49-4(9-\sqrt{26})=13+4\sqrt{26}.$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, получаем

$$x\le \frac{7-\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2} \quad \text{или} \quad x\ge \frac{7+\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2}.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{-3-\sqrt5}{2},\frac{-3+\sqrt5}{2}\right)\cup(0,+\infty)$$;

б) $$\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2}\right]\cup\left[\frac{7+\sqrt{13+4\sqrt{26}}}{2},+\infty\right).$$