Упр.116 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область значений каждой из функций:

1. $$y=2^{\cos x}$$;
2. $$y=2-x^{\frac{1}{4}}$$;
3. $$y=1+\left|\log(2;x)\right|$$;
4. $$y=1+\left|x^{\frac{1}{3}}\right|$$.

Найдём область значений каждой функции.

1. $$y=2^{\cos x}$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$2^{-1}\le 2^{\cos x}\le 2^1,$$

   то есть

   $$\frac12\le y\le 2.$$

2. $$y=2-\sqrt[4]{x}$$

   Поскольку $$\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ то

   $$y\le 2.$$

   При $$x\to +\infty$$ имеем $$\sqrt[4]{x}\to +\infty,$$ значит $$y\to -\infty.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;2].$$

3. $$y=1+\left|\log_2 x\right|$$

   Так как $$\left|\log_2 x\right|\ge 0,$$ то

   $$y\ge 1.$$

   Равенство достигается при $$\log_2 x=0,$$ то есть при $$x=1.$$

   Значит,

   $$E(y)=[1;+\infty).$$

4. $$y=1+\left|x^{1/3}\right|$$

   Так как $$\left|x^{1/3}\right|\ge 0,$$ то

   $$y\ge 1.$$

   Равенство достигается при $$x=0.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[1;+\infty).$$

Ответ: а) $$\left[\frac12;2\right]$$; б) $$(-\infty;2]$$; в) $$[1;+\infty)$$; г) $$[1;+\infty).$$