Упр.114 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите область определения каждой из функций:
а) $$y=\frac{\sqrt{x^2-5x+6}}{\lg(x+10)^2}$$;
б) $$y=\sqrt{\log_5(\cos x)}$$;
в) $$y=\frac{\ln(3x-2)}{x^2-x-2}$$;
г) $$y=\left(\lg(3x^2-2x)\right)^{\frac14}$$.
а) Для функции
$$y=\frac{\sqrt{x^2-5x+6}}{\lg^2(x+10)}$$
нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:
$$x^2-5x+6\ge 0,$$
$$\lg(x+10)\ne 0,$$
$$x+10>0.$$
Решим неравенство:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$
Кроме того,
$$\lg(x+10)\ne 0 \;\Rightarrow\; x+10\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne -9,$$
а также $$x>-10.$$
Итак,
$$D(y)=(-10;-9)\cup(-9;2]\cup[3;+\infty).$$
б) Для функции
$$y=\sqrt{\log_5(\cos x)}$$
нужно, чтобы
$$\log_5(\cos x)\ge 0,$$
и одновременно
$$\cos x>0.$$
Так как основание логарифма $$5>1,$$ то
$$\log_5(\cos x)\ge 0 \;\Rightarrow\; \cos x\ge 1.$$
Но всегда $$\cos x\le 1,$$ значит
$$\cos x=1.$$
Это выполняется при
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$D(y)=\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}.$$
в) Для функции
$$y=\frac{\ln(3x-2)}{x^2-x-2}$$
нужно, чтобы
$$3x-2>0,$$
$$x^2-x-2\ne 0.$$
Из первого условия:
$$x>\frac23.$$
Разложим знаменатель на множители:
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$
Тогда
$$x\ne 2,\quad x\ne -1.$$
С учётом условия $$x>\frac23$$ получаем
$$D(y)=\left(\frac23;2\right)\cup(2;+\infty).$$
г) Для функции
$$y=\sqrt[4]{\lg(3x^2-2x)}$$
нужно, чтобы
$$\lg(3x^2-2x)\ge 0,$$
и
$$3x^2-2x>0.$$
Так как основание логарифма $$10>1,$$ то
$$\lg(3x^2-2x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 3x^2-2x\ge 1.$$
Решим неравенство:
$$3x^2-2x-1\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D= (-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6},\quad x_1=-\frac13,\; x_2=1.$$
Тогда
$$\left(x+\frac13\right)(x-1)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -\frac13 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
Следовательно,
$$D(y)=\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-10;-9)\cup(-9;2]\cup[3;+\infty)$$; б) $$\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$; в) $$\left(\frac23;2\right)\cup(2;+\infty)$$; г) $$\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[1;+\infty).$$
