Упр.114 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнения:
- а) $$|x-1|+2|-1|+1|=2$$;
б) $$2|x+6|-|x|-|x-6|=18$$;
в) $$|2x-3|=|x^2-2x-6|$$;
г) $$|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$$.
а) $$|x-1|+2|-1|+1|=2$$
Так как $$|-1|=1$$ и $$1|=1,$$ получаем
$$|x-1|+2\cdot 1+1=2,$$
$$|x-1|+3=2,$$
$$|x-1|=-1.$$
Это невозможно, значит, решений нет.
б) $$2|x+6|-|x|-|x-6|=18$$
Рассмотрим промежутки:
1) Если $$x\le -6,$$ то
$$2(-x-6)-(-x)-(-x+6)=18,$$
$$-2x-12+x+x-6=18,$$
$$-18=18,$$
что невозможно.
2) Если $$-6\le x\le 0,$$ то
$$2(x+6)-(-x)-(-x+6)=18,$$
$$2x+12+x+x-6=18,$$
$$4x=12,$$
$$x=3,$$
но $$3\notin[-6,0],$$ значит, не подходит.
3) Если $$0\le x\le 6,$$ то
$$2(x+6)-x-(6-x)=18,$$
$$2x+12-x-x+6=18,$$
$$18=18.$$
Значит, подходят все $$x\in[0,6].$$
4) Если $$x\ge 6,$$ то
$$2(x+6)-x-(x-6)=18,$$
$$2x+12-x-x+6=18,$$
$$18=18.$$
Значит, подходят все $$x\ge 6.$$
Итак, $$x\in[0;+\infty).$$
в) $$|2x-3|=|x^2-2x-6|$$
Рассмотрим два случая:
1) $$2x-3=x^2-2x-6,$$ тогда
$$x^2-4x-3=0,$$
$$D=16+12=28,$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2}=2\pm\sqrt7.$$
2) $$2x-3=-(x^2-2x-6),$$ тогда
$$2x-3=-x^2+2x+6,$$
$$x^2=9,$$
$$x=\pm 3.$$
Проверка показывает, что все найденные значения подходят.
Ответ: $$x=2\pm\sqrt7,\,-3,\,3.$$
г) $$|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$$
Рассмотрим промежутки:
1) Если $$x\le -1,$$ то
$$-(x+1)-(-x)+3(1-x)-2(2-x)=x+2,$$
$$-x-1+x+3-3x-4+2x=x+2,$$
$$-x-2=x+2,$$
$$2x=-4,$$
$$x=-2.$$
2) Если $$-1\le x\le 0,$$ то
$$x+1-x+3(1-x)-2(2-x)=x+2,$$
$$x+1-x+3-3x-4+2x=x+2,$$
$$0=x+2,$$
$$x=-2,$$
но это значение не принадлежит промежутку.
3) Если $$0\le x\le 1,$$ то
$$x+1-x+3(1-x)-2(2-x)=x+2,$$
$$1+3-3x-4+2x=x+2,$$
$$-x=x+2,$$
$$x=-1,$$
но это значение не принадлежит промежутку.
4) Если $$1\le x\le 2,$$ то
$$x+1-x+3(x-1)-2(2-x)=x+2,$$
$$1+3x-3-4+2x=x+2,$$
$$5x-6=x+2,$$
$$4x=8,$$
$$x=2.$$
5) Если $$x\ge 2,$$ то
$$x+1-x+3(x-1)-2(x-2)=x+2,$$
$$1+3x-3-2x+4=x+2,$$
$$x+2=x+2.$$
Значит, подходят все $$x\ge 2.$$
Итак, $$x\in\{-2\}\cup[2;+\infty).$$
