Упр.113 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$f(x)=\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то
$$-1\le f(x)\le 1,$$
следовательно, $$E(f)=[-1;1].$$
Нули функции:
$$\sin\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=0$$
$$2x-\frac{2\pi}{3}=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Промежутки знакопостоянства:
$$f(x)>0 \iff \frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \frac{5\pi}{6}+\pi n<x<{\frac{4\pi}{3}+\pi n},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Монотонность:
$$f(x)\ \text{возрастает при}\ x\in\left[\frac{\pi}{12}+\pi n;\frac{7\pi}{12}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)\ \text{убывает при}\ x\in\left[\frac{7\pi}{12}+\pi n;\frac{13\pi}{12}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Максимумы и минимумы:
$$x_{\max}=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad x_{\min}=\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$f(x)=\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$
Область определения котангенса:
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\ne \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Отсюда
$$x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Значит,
$$D(f)=\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Область значений: $$E(f)=\mathbb{R}.$$
Функция нечетная.
Нули функции:
$$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Промежутки знакопостоянства:
$$f(x)>0 \iff -\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Функция убывает на всей области определения.
в) $$f(x)=4\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Так как $$-1\le \cos t\le 1,$$ то
$$-4\le f(x)\le 4,$$
следовательно, $$E(f)=[-4;4].$$
Функция четная.
Нули функции:
$$4\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=4\cos\frac{\pi}{3}=2.$$
Промежутки знакопостоянства:
$$f(x)>0 \iff -\frac{5\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \frac{\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{7\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Монотонность:
$$f(x)\ \text{возрастает при}\ x\in[-4\pi+6\pi n;\,-\pi+6\pi n],\quad n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)\ \text{убывает при}\ x\in[-\pi+6\pi n;\,2\pi+6\pi n],\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Максимумы и минимумы:
$$x_{\max}=-\pi+6\pi n,\quad x_{\min}=2\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$f(x)=\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}-3x\right)$$
Область определения тангенса:
$$\frac{3\pi}{4}-3x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Отсюда
$$x\ne \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Значит,
$$D(f)=\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3};\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Область значений: $$E(f)=\mathbb{R}.$$
Функция нечетная.
Нули функции:
$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}-3x\right)=0$$
$$\frac{3\pi}{4}-3x=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}=-1.$$
Промежутки знакопостоянства:
$$f(x)>0 \iff \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Функция убывает на всей области определения.
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[-1;1],\ x_0=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$D(f)=\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ E(f)=\mathbb{R},\ x_0=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[-4;4],\ x_0=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$D(f)=\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3};\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\right),\ E(f)=\mathbb{R},\ x_0=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$
