Упр.112 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=v(16x-x^3); б) y=1/(x^3+8)^(1/4);
в) y=(5-x-4/x)^(1/6); г) y=1/v(x^2+x-20).

а) Для функции $$y=\sqrt{16x-x^3}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$16x-x^3\ge 0$$

$$x(16-x^2)\ge 0$$

$$x(4-x)(4+x)\ge 0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-4]\cup[0;4].$$

б) Для функции $$y=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3+8}}$$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$$x^3+8>0$$

$$x^3>-8$$

$$x>-2.$$

Значит,

$$x\in(-2;+\infty).$$

в) Для функции $$y=\sqrt[6]{5-x-\frac{4}{x}}$$ нужно, чтобы

$$5-x-\frac{4}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$5-x-\frac{4}{x}=\frac{5x-x^2-4}{x}=-\frac{x^2-5x+4}{x}=-\frac{(x-1)(x-4)}{x}.$$

Тогда

$$-\frac{(x-1)(x-4)}{x}\ge 0,$$

или

$$\frac{(x-1)(x-4)}{x}\le 0.$$

Решая неравенство, получаем

$$x\in(-\infty;0)\cup[1;4].$$

г) Для функции $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2+x-20}}$$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$$x^2+x-20>0$$

$$ (x+5)(x-4)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-5)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-4]\cup[0;4]$$; б) $$(-2;+\infty)$$; в) $$(-\infty;0)\cup[1;4]$$; г) $$(-\infty;-5)\cup(4;+\infty)$$.