Упр.112 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

   Так как $$-1\le \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 2.$$

   Следовательно, $$E(f)=[-2;2].$$

   Нули функции:

   $$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Точка пересечения с осью ординат:

   $$f(0)=2\cos\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

   Знак функции:

   $$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0,$$

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Функция возрастает на промежутках

   $$\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z},$$

   и убывает на промежутках

   $$\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Максимумы достигаются при

   $$x_{\max}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   минимумы — при

   $$x_{\min}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$f(x)=\frac12\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

   Так как $$-1\le \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\le 1,$$ то

   $$-\frac12\le \frac12\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\le \frac12.$$

   Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$

   Нули функции:

   $$\frac12\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=0,$$

   $$\frac{\pi}{3}-x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=\frac{\pi}{3}-\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Точка пересечения с осью ординат:

   $$f(0)=\frac12\sin\frac{\pi}{3}=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}.$$

   Знак функции:

   $$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)>0,$$

   $$2\pi n<\frac{\pi}{3}-x<\pi+2\pi n,$$

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)<0,$$

   $$\pi+2\pi n<\frac{\pi}{3}-x<2\pi+2\pi n,$$

   $$-\frac{5\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Функция возрастает на промежутках

   $$\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z},$$

   и убывает на промежутках

   $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Максимумы достигаются при

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   минимумы — при

   $$x_{\min}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. в) $$f(x)=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Область определения:

   $$x-\frac{\pi}{4}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x\ne \frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Значит,

   $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3\pi}{4}+\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

   Область значений: $$E(f)=\mathbb{R}.$$

   Нули функции:

   $$\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \;\Longleftrightarrow\; x-\frac{\pi}{4}=\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Точка пересечения с осью ординат:

   $$f(0)=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

   Функция возрастает на всей области определения. Точек максимума и минимума нет.

4. г) $$f(x)=1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

   Так как $$-1\le \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\le 1,$$ то

   $$-1{,}5\le 1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\le 1{,}5.$$

   Следовательно, $$E(f)=[-1{,}5;1{,}5].$$

   Нули функции:

   $$1{,}5\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=0,$$

   $$\frac{\pi}{6}-x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Точка пересечения с осью ординат:

   $$f(0)=1{,}5\cos\frac{\pi}{6}=1{,}5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}.$$

   Знак функции:

   $$f(x)>0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)>0,$$

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{\pi}{6}-x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$f(x)<0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)<0,$$

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{\pi}{6}-x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Функция возрастает на промежутках

   $$\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z},$$

   и убывает на промежутках

   $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Максимумы достигаются при

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   минимумы — при

   $$x_{\min}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[-2;2],\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ f(0)=\sqrt2.$$
б) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right],\ x=\frac{\pi}{3}-\pi n,\ f(0)=\frac{\sqrt3}{4}.$$
в) $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3\pi}{4}+\pi n\mid n\in\mathbb{Z}\right\},\ E(f)=\mathbb{R},\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ f(0)=-1.$$
г) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[-1{,}5;1{,}5],\ x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ f(0)=\frac{3\sqrt3}{4},\ n\in\mathbb{Z}.$$