Упр.111 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1);
б) (x^2-x+1)^2+2(x^3+1)=(x+1)^2.

а) Преобразуем уравнение, используя разложение на множители:

$$ 2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1) $$
$$ 2\cdot \frac{x^2+x+1}{x-1}-7\cdot \frac{x-1}{x^2+x+1}=13,\qquad x\ne 1 $$

Пусть

$$ y=\frac{x^2+x+1}{x-1}. $$
Тогда

$$ 2y-\frac{7}{y}=13 $$
$$ 2y^2-13y-7=0. $$

Найдём корни:

$$ D=13^2+4\cdot 2\cdot 7=169+56=225 $$
$$ y_{1,2}=\frac{13\pm 15}{4}. $$

Получаем:

$$ y_1=-\frac12,\qquad y_2=7. $$

1) Если

$$ \frac{x^2+x+1}{x-1}=-\frac12, $$
то

$$ 2x^2+2x+2=1-x $$
$$ 2x^2+3x+1=0 $$
$$ (2x+1)(x+1)=0. $$

Отсюда

$$ x=-\frac12,\qquad x=-1. $$

2) Если

$$ \frac{x^2+x+1}{x-1}=7, $$
то

$$ x^2+x+1=7x-7 $$
$$ x^2-6x+8=0 $$
$$ (x-2)(x-4)=0. $$

Отсюда

$$ x=2,\qquad x=4. $$

Итак, для пункта а) получаем корни:

$$ x=-\frac12,\,-1,\,2,\,4. $$

б) Преобразуем уравнение:

$$ (x^2-x+1)^2+2(x^3+1)=(x+1)^2 $$
$$ \frac{x^2-x+1}{x+1}+2=\frac{x+1}{x^2-x+1},\qquad x\ne -1. $$

Пусть

$$ y=\frac{x^2-x+1}{x+1}. $$
Тогда

$$ y+2=\frac1y $$
$$ y^2+2y-1=0. $$

Найдём корни:

$$ D=2^2+4\cdot 1\cdot 1=8 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt8}{2}=-1\pm \sqrt2. $$

Рассмотрим оба случая.

1) Если

$$ \frac{x^2-x+1}{x+1}=-1-\sqrt2, $$
то

$$ x^2-x+1=(-1-\sqrt2)(x+1) $$
$$ x^2+x\sqrt2+(2-\sqrt2)=0. $$

Дискриминант:

$$ D=2-4(2-\sqrt2)= -6+4\sqrt2<0. $$

Корней нет.

2) Если

$$ \frac{x^2-x+1}{x+1}=-1+\sqrt2, $$
то

$$ x^2-x+1=(-1+\sqrt2)(x+1) $$
$$ x^2+x\sqrt2+(2-\sqrt2)=0. $$

Снова

$$ D=-6+4\sqrt2<0, $$ $$ $$

поэтому действительных корней нет.

Ответ

а) $$-\frac12,\,-1,\,2,\,4$$; б) корней нет.