Упр.111 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения: а) $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$; б) $$(x^2-x+1)^2+2(x^3+1)=(x+1)^2$$.
а) Преобразуем уравнение:
$$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1).$$
Заметим, что $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$ Тогда при $$x\ne 1$$ можно разделить обе части на $$x^2+x+1$$ и получить:
$$2\cdot \frac{x^2+x+1}{x-1}-7\cdot \frac{x-1}{x^2+x+1}=13.$$
Положим
$$y=\frac{x^2+x+1}{x-1}.$$
Тогда
$$2y-\frac{7}{y}=13,$$
$$2y^2-13y-7=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=13^2+4\cdot 2\cdot 7=225,$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm 15}{4}.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=7.$$
1) Если $$\frac{x^2+x+1}{x-1}=-\frac12,$$ то
$$2(x^2+x+1)=-(x-1),$$
$$2x^2+3x+1=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=-\frac12.$$
2) Если $$\frac{x^2+x+1}{x-1}=7,$$ то
$$x^2+x+1=7x-7,$$
$$x^2-6x+8=0,$$
$$D=36-32=4,$$
$$x_1=2,\qquad x_2=4.$$
Итак,
$$x=-\frac12,\,-1,\,2,\,4.$$
б) Преобразуем уравнение:
$$\left(x^2-x+1\right)^2+2(x^3+1)=(x+1)^2.$$
Используем разложение $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$ и разделим на $$x+1$$ при $$x\ne -1$$:
$$\frac{x^2-x+1}{x+1}+2=\frac{x+1}{x^2-x+1}.$$
Положим
$$y=\frac{x^2-x+1}{x+1}.$$
Тогда
$$y+2=\frac1y,$$
$$y^2+2y-1=0.$$
Находим корни:
$$D=2^2+4=8,$$
$$y=-1\pm \sqrt2.$$
Рассмотрим оба случая.
1) Если $$\frac{x^2-x+1}{x+1}=-1-\sqrt2,$$ то
$$x^2-x+1=(-1-\sqrt2)(x+1),$$
$$x^2+\sqrt2\,x+(2-\sqrt2)=0.$$
Дискриминант:
$$D=2-4(2-\sqrt2)= -6+4\sqrt2<0.$$
2) Если $$\frac{x^2-x+1}{x+1}=-1+\sqrt2,$$ то
$$x^2-x+1=(-1+\sqrt2)(x+1),$$
$$x^2+\sqrt2\,x+(2-\sqrt2)=0.$$
Здесь дискриминант такой же:
$$D=-6+4\sqrt2<0.$$
Следовательно, действительных корней нет.
Ответ
а) $$-\frac12,\,-1,\,2,\,4$$; б) корней нет.
