Упр.110 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Для существования функции нужно, чтобы знаменатель не обращался в нуль:

$$1-\sin x \ne 0$$

$$\sin x \ne 1$$

$$x \ne \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\}.$$

б) Преобразуем выражение под корнем:

$$y=\sqrt{\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt{-\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)}=\sqrt{-\cos x}.$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$-\cos x\ge 0,$$

то есть

$$\cos x\le 0.$$

Это выполняется при

$$x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$D(y)=\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$\cos x-1\ne 0$$

$$\cos x\ne 1$$

$$x\ne 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb R\setminus\{2\pi n,\ n\in\mathbb Z\}.$$

г) Преобразуем выражение под корнем:

$$y=\sqrt{\tg x+\ctg x}=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}}=\sqrt{\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}}=\sqrt{\frac{1}{\sin x\cos x}}=\sqrt{\frac{1}{\sin 2x}}.$$

Для области определения нужно, чтобы существовали $$\tg x$$ и $$\ctg x$$, а также чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$\sin x\ne 0,\quad \cos x\ne 0,$$

$$\frac{1}{\sin 2x}\ge 0.$$

Так как числитель равен $$1$$, то необходимо

$$\sin 2x>0.$$

Отсюда

$$x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$D(y)=\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$