Упр.11 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите производную функции:
а) y=x ln(3x); б) y=log(2; 7-2x);
в) y=2log(3; x); г) y=ln(x/5).
3) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f(x)=1/(5x); б) g(x)=1/(x-3);
в) u(x)=5/x; г) h(x)=2/(x+1).

1. Для функции $$y=\log_a x$$ производная равна

   $$y’=\frac{1}{x\ln a}.$$

   Если $$f(x)=\frac{1}{x},$$ то общий вид первообразной:

   $$F(x)=\ln|x|+C.$$

2. Найдём производные.

   а) $$y=x\ln(3x)$$

   $$y’=\ln(3x)+x\cdot\frac{3}{3x}=\ln(3x)+1.$$

   б) $$y=\log_2(7-2x)$$

   $$y’=\frac{-2}{(7-2x)\ln 2}=\frac{2}{(2x-7)\ln 2}.$$

   в) $$y=2\log_3 x$$

   $$y’=2\cdot\frac{1}{x\ln 3}=\frac{2}{x\ln 3}.$$

   г) $$y=\ln\frac{x}{5}$$

   $$y’=\frac{1}{x/5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{x}.$$

3. Найдём общие виды первообразных.

   а) $$f(x)=\frac{1}{5x}$$

   $$F(x)=\frac{1}{5}\ln|x|+C=\frac{1}{5}\ln|5x|+C.$$

   б) $$g(x)=\frac{1}{x-3}$$

   $$F(x)=\ln|x-3|+C.$$

   в) $$u(x)=\frac{5}{x}$$

   $$F(x)=5\ln|x|+C.$$

   г) $$h(x)=\frac{2}{x+1}$$

   $$F(x)=2\ln|x+1|+C.$$

Ответ

1) $$y’=\frac{1}{x\ln a}, \quad F(x)=\ln|x|+C.$$
2) а) $$y’=\ln(3x)+1$$; б) $$y’=\frac{2}{(2x-7)\ln 2}$$; в) $$y’=\frac{2}{x\ln 3}$$; г) $$y’=\frac{1}{x}$$.
3) а) $$F(x)=\frac{1}{5}\ln|5x|+C$$; б) $$F(x)=\ln|x-3|+C$$; в) $$F(x)=5\ln|x|+C$$; г) $$F(x)=2\ln|x+1|+C$$.