Упр.11 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Какую производную имеет функция $$y=\log(a;x)$$? Найдите общий вид первообразных для функции $$f(x)=\frac{1}{x}$$.
- Найдите производную функции:
а) $$y=x\ln(3x)$$;
б) $$y=\log(2;7-2x)$$;
в) $$y=2\log(3;x)$$;
г) $$y=\ln\left(\frac{x}{5}\right)$$. - Найдите общий вид первообразных для функции:
а) $$f(x)=\frac{1}{5x}$$;
б) $$g(x)=\frac{1}{x-3}$$;
в) $$u(x)=\frac{5}{x}$$;
г) $$h(x)=\frac{2}{x+1}$$.
1) Для функции $$y=\log_a x$$ производная равна
$$y’=\frac{1}{x\ln a}.$$
Для функции $$f(x)=\frac{1}{x}$$ общий вид первообразной:
$$F(x)=\ln|x|+C.$$
Ход решения
Найдём производные.
а) $$y=x\ln(3x)$$
$$y’=\ln(3x)+x\cdot\frac{3}{3x}=\ln(3x)+1.$$
б) $$y=\log_2(7-2x)$$
$$y’=\frac{-2}{(7-2x)\ln 2}=\frac{2}{(2x-7)\ln 2}.$$
в) $$y=2\log_3 x$$
$$y’=2\cdot\frac{1}{x\ln 3}=\frac{2}{x\ln 3}.$$
г) $$y=\ln\frac{x}{5}$$
$$y’=\frac{1}{x}.$$
Найдём общий вид первообразных.
а) $$f(x)=\frac{1}{5x}$$
$$F(x)=\frac{1}{5}\ln|x|+C.$$
б) $$g(x)=\frac{1}{x-3}$$
$$F(x)=\ln|x-3|+C.$$
в) $$u(x)=\frac{5}{x}$$
$$F(x)=5\ln|x|+C.$$
г) $$h(x)=\frac{2}{x+1}$$
$$F(x)=2\ln|x+1|+C.$$
Ответ
1) $$y’=\frac{1}{x\ln a},\quad F(x)=\ln|x|+C.$$
2) а) $$\ln(3x)+1$$; б) $$\frac{2}{(2x-7)\ln 2}$$; в) $$\frac{2}{x\ln 3}$$; г) $$\frac{1}{x}$$.
3) а) $$\frac{1}{5}\ln|x|+C$$; б) $$\ln|x-3|+C$$; в) $$5\ln|x|+C$$; г) $$2\ln|x+1|+C$$.
