Упр.11 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке:
а) f(x)=0,8x^5-4x^3, [-1; 2]; б) f(x)=x-sin(2x), [0; ?/2];
в) f(x)=3x^2-2x^3, [-1; 4]; г) f(x)=x^2 (6-x), [-1; 5].
3) а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?
б) Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?
1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти все критические точки, принадлежащие этому отрезку, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на заданных отрезках.
а) $$f(x)=0{,}8x^5-4x^3,\quad [-1;2]$$
$$f'(x)=0{,}8\cdot 5x^4-4\cdot 3x^2=4x^4-12x^2=4x^2(x^2-3).$$
Критические точки на отрезке: $$x=\pm\sqrt{3}.$$ На отрезке $$[-1;2]$$ лежит только $$x=\sqrt{3}.$$
$$f(-1)=-0{,}8+4=3{,}2,$$
$$f(\sqrt{3})=0{,}8\cdot 9\sqrt{3}-4\cdot 3\sqrt{3}=7{,}2\sqrt{3}-12\sqrt{3}=-4{,}8\sqrt{3},$$
$$f(2)=0{,}8\cdot 32-4\cdot 8=25{,}6-32=-6{,}4.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$3{,}2,$$ наименьшее — $$-4{,}8\sqrt{3}.$$
б) $$f(x)=x-\sin 2x,\quad \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$
$$f'(x)=1-2\cos 2x.$$
Найдём критические точки:
$$1-2\cos 2x=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=\frac12.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции:
$$f(0)=0,$$
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin\pi=\frac{\pi}{2}.$$
Значит, наименьшее значение равно $$\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ наибольшее — $$\frac{\pi}{2}.$$
в) $$f(x)=3x^2-2x^3,\quad [-1;4]$$
$$f'(x)=6x-6x^2=6x(1-x).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=1.$$
Вычислим значения функции:
$$f(-1)=3\cdot 1-2\cdot(-1)^3=3+2=5,$$
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-2=1,$$
$$f(4)=3\cdot 16-2\cdot 64=48-128=-80.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$5,$$ наименьшее — $$-80.$$
г) $$f(x)=x^2(6-x),\quad [-1;5]$$
$$f'(x)=2x(6-x)-x^2=12x-3x^2=3x(4-x).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=4.$$
Вычислим значения функции:
$$f(-1)=1\cdot 7=7,$$
$$f(0)=0,$$
$$f(4)=16\cdot 2=32,$$
$$f(5)=25\cdot 1=25.$$
Значит, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$32.$$
3) Решим задачи.
а) Пусть первое число равно $$x,$$ тогда второе $$x-8.$$
Требуется минимизировать произведение куба первого числа на второе:
$$f(x)=x^3(x-8)=x^4-8x^3.$$
$$f'(x)=4x^3-24x^2=4x^2(x-6).$$
Критическая точка, дающая минимум, — $$x=6.$$ Тогда второе число:
$$6-8=-2.$$
Искомые числа: $$6$$ и $$-2.$$
б) Пусть одна сторона площадки равна $$x,$$ тогда другая, перпендикулярная стене, равна $$y.$$
По условию:
$$2x+y=200,\quad y=200-2x.$$
Площадь:
$$S(x)=xy=x(200-2x)=200x-2x^2.$$
$$S'(x)=200-4x.$$
$$S'(x)=0 \Rightarrow x=50.$$
Тогда
$$y=200-2\cdot 50=100.$$
Размеры площадки: $$50\text{ м}$$ и $$100\text{ м}.$$
Ответ
1) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находят по значениям функции в критических точках и на концах отрезка.
2) а) $$\max f=3{,}2,$$ $$\min f=-4{,}8\sqrt{3}.$$
б) $$\min f=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$\max f=\frac{\pi}{2}.$$
в) $$\max f=5,$$ $$\min f=-80.$$
г) $$\min f=0,$$ $$\max f=32.$$
3) а) $$6$$ и $$-2.$$
б) $$50\text{ м}$$ и $$100\text{ м}.$$
