Упр.11 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите область определения функции:
а) y=(3x+1)/(x^2-7x+12); б) y=1/sin(x);
в) y=v(4-x^2); г) y=1/cos(x).
3) Найдите область значений функции:
а) y=3cos(x)-1; б) y=1/x^2+1;
в) y=2-sin(x); г) y=3-x^4.

1) Числовой функцией с областью определения $$D(f)$$ называется соответствие, при котором каждому числу $$x$$ из множества $$D(f)$$ по некоторому правилу сопоставляется единственное число $$y$$, зависящее от $$x$$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $$x$$, при которых функция имеет смысл.

Область значений функции — это множество всех значений $$f(x)$$, которые принимает функция.

2) Найдём область определения.

а) $$y=\frac{3x+1}{x^2-7x+12}$$

Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$x^2-7x+12\ne 0$$

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$

Следовательно, $$x\ne 3$$ и $$x\ne 4$$.

$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$$

б) $$y=\frac{1}{\sin x}$$

Знаменатель не равен нулю:

$$\sin x\ne 0$$

$$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$D(y)=\mathbb R\setminus\{\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$

в) $$y=\sqrt{4-x^2}$$

Подкоренное выражение неотрицательно:

$$4-x^2\ge 0$$

$$x^2\le 4$$

$$-2\le x\le 2$$

$$D(y)=[-2;2]$$

г) $$y=\frac{1}{\cos x}$$

Знаменатель не равен нулю:

$$\cos x\ne 0$$

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$

3) Найдём область значений.

а) $$y=3\cos x-1$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то

$$-3\le 3\cos x\le 3$$

$$-4\le 3\cos x-1\le 2$$

$$E(y)=[-4;2]$$

б) $$y=\frac{1}{x^2}+1$$

При $$x\ne 0$$ имеем $$\frac{1}{x^2}>0$$, значит

$$y>1$$

При этом значения сколь угодно близки к $$1$$, но не равны ему, и не ограничены сверху.

$$E(y)=(1;+\infty)$$

в) $$y=2-\sin x$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то

$$1\le 2-\sin x\le 3$$

$$E(y)=[1;3]$$

г) $$y=3-x^4$$

Так как $$x^4\ge 0$$, то

$$3-x^4\le 3$$

При $$|x|\to +\infty$$ значение $$3-x^4\to -\infty$$.

$$E(y)=(-\infty;3]$$

Ответ

1) Числовая функция — это соответствие, при котором каждому $$x\in D(f)$$ сопоставляется единственное число $$y=f(x)$$. Область определения — множество допустимых значений $$x$$, область значений — множество всех значений функции.

2) а) $$(-\infty;3)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$$; б) $$\mathbb R\setminus\{\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$; в) $$[-2;2]$$; г) $$\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$.

3) а) $$[-4;2]$$; б) $$(1;+\infty)$$; в) $$[1;3]$$; г) $$(-\infty;3]$$.