Упр.109 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 8x^4+8x^3-x-190=0;
б) 4x^4-4x^3+x/2=66.

Подробный ответ

а)

$$8x^4+8x^3-x-190=0$$
$$8x^3(x+1)-(x+1)-189=0$$
$$\bigl(8x^3-1\bigr)(x+1)-189=0$$
$$\bigl(2x-1\bigr)\bigl(4x^2+2x+1\bigr)(x+1)=189$$
$$\bigl(2x^2+x-1\bigr)\bigl(4x^2+2x+1\bigr)=189$$

Положим $$y=2x^2+x$$. Тогда

$$ (y-1)(2y+1)=189 $$
$$ 2y^2-y-190=0 $$
$$ D=1+4\cdot 2\cdot 190=1521 $$
$$ y_{1,2}=\frac{1\pm 39}{4} $$
$$ y_1=-\frac{19}{2}, \quad y_2=10 $$

1) Если $$2x^2+x=-\frac{19}{2}$$, то

$$4x^2+2x+19=0$$
$$ D=2^2-4\cdot 4\cdot 19=4-304=-300<0 $$

Действительных корней нет.

2) Если $$2x^2+x=10$$, то

$$2x^2+x-10=0$$
$$ D=1+80=81 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4} $$
$$ x_1=-\frac{5}{2}, \quad x_2=2 $$

б)

$$4x^4-4x^3+\frac{x}{2}=66$$
$$8x^4-8x^3+x-132=0$$
$$8x^3(x-1)+(x-1)-131=0$$
$$\bigl(8x^3+1\bigr)(x-1)-131=0$$
$$\bigl(2x+1\bigr)\bigl(4x^2-2x+1\bigr)(x-1)=131$$
$$\bigl(2x^2-x-1\bigr)\bigl(4x^2-2x+1\bigr)=131$$

Положим $$y=2x^2-x$$. Тогда

$$ (y-1)(2y+1)=131 $$
$$ 2y^2-y-132=0 $$
$$ D=1+4\cdot 2\cdot 132=1057 $$
$$ y_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1057}}{4} $$

1) Если $$2x^2-x=\frac{1-\sqrt{1057}}{4}$$, то

$$8x^2-4x+\sqrt{1057}-1=0$$
$$ D=16-32(\sqrt{1057}-1)=48-32\sqrt{1057}<0 $$

Действительных корней нет.

2) Если $$2x^2-x=\frac{1+\sqrt{1057}}{4}$$, то

$$8x^2-4x-(1+\sqrt{1057})=0$$
$$ D=16+32(1+\sqrt{1057})=48+32\sqrt{1057}=16\bigl(3+2\sqrt{1057}\bigr) $$
$$ x=\frac{4\pm \sqrt{16(3+2\sqrt{1057})}}{16}=\frac{1\pm \sqrt{3+2\sqrt{1057}}}{4} $$