Упр.109 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Приведём аргументы к промежутку, где косинус убывает на $$[0;\pi]$$:

$$\cos 4=\cos(2\pi-4),\quad \cos 7=\cos(7-2\pi),\quad \cos 9=\cos(9-2\pi),\quad \cos(-12{,}5)=\cos(4\pi-12{,}5).$$

Сравним аргументы:

$$0<4\pi-12{,}5<7-2\pi<2\pi-4<9-2\pi<\pi.$$

Так как на $$[0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, получаем:

$$\cos(4\pi-12{,}5)>\cos(7-2\pi)>\cos(2\pi-4)>\cos(9-2\pi).$$

Следовательно, по возрастанию:

$$\cos 9,\ \cos 4,\ \cos 7,\ \cos(-12{,}5).$$

б) Приведём аргументы к промежутку возрастания тангенса $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$:

$$\tg(-8)=\tg(3\pi-8),\quad \tg 1{,}3=\tg 1{,}3,\quad \tg 4=\tg(4-\pi),\quad \tg 16=\tg(16-5\pi).$$

Сравним аргументы:

$$-\frac{\pi}{2}<16-5\pi<4-\pi<1{,}3<3\pi-8<\frac{\pi}{2}.$$

Так как на этом промежутке функция $$\tg x$$ возрастает, то

$$\tg(16-5\pi)<\tg(4-\pi)<\tg 1{,}3<\tg(3\pi-8).$$

Следовательно, по возрастанию:

$$\tg 16,\ \tg 4,\ \tg 1{,}3,\ \tg(-8).$$

в) Приведём аргументы к промежутку возрастания синуса $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$:

$$\sin 6{,}7=\sin(6{,}7-2\pi),\quad \sin 10{,}5=\sin(3\pi-10{,}5),\quad \sin(-7)=\sin(2\pi-7),\quad \sin 20{,}5=\sin(7\pi-20{,}5).$$

Сравним аргументы:

$$-\frac{\pi}{2}<3\pi-10{,}5<2\pi-7<6{,}7-2\pi<7\pi-20{,}5<\frac{\pi}{2}.$$

Так как на этом промежутке функция $$\sin x$$ возрастает, получаем:

$$\sin(3\pi-10{,}5)<\sin(2\pi-7)<\sin(6{,}7-2\pi)<\sin(7\pi-20{,}5).$$

Следовательно, по возрастанию:

$$\sin 10{,}5,\ \sin(-7),\ \sin 6{,}7,\ \sin 20{,}5.$$

г) Приведём аргументы к промежутку убывания котангенса $$\left(\pi;2\pi\right)$$:

$$\ctg(-9)=\ctg(4\pi-9),\quad \ctg 3{,}5=\ctg 3{,}5,\quad \ctg 5=\ctg 5,\quad \ctg 15=\ctg(15-3\pi).$$

Сравним аргументы:

$$\pi<3{,}5<4\pi-9<5<15-3\pi<2\pi.$$

Так как на $$\left(\pi;2\pi\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает, то

$$\ctg 3{,}5>\ctg(4\pi-9)>\ctg 5>\ctg(15-3\pi).$$

Следовательно, по возрастанию:

$$\ctg 15,\ \ctg 5,\ \ctg(-9),\ \ctg 3{,}5.$$