Упр.108 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) x^4-2x^3+(3/4)x^2-2x+1=0;
б) 2x^4+x^3-3x^2+x+2=0;
в) x^4-2x^3-3x^2+4x+4=0;
г) x^4-4x^3-18x^2-12x+9=0.
а) Сделаем замену $$y=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2.$$
Уравнение приводится к виду
$$4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-8\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0,$$
то есть
$$4(y^2-2)-8y+5=0,$$
$$4y^2-8y-3=0.$$
Находим корни:
$$D=64+48=112,$$
$$y=\frac{8\pm\sqrt{112}}{8}=1\pm\frac{\sqrt7}{2}.$$
Проверим оба значения.
1) $$x+\frac{1}{x}=1-\frac{\sqrt7}{2}.$$
Тогда
$$2x^2-\left(2-\sqrt7\right)x+2=0,$$
и дискриминант отрицателен, значит действительных корней нет.
2) $$x+\frac{1}{x}=1+\frac{\sqrt7}{2}.$$
Тогда
$$2x^2-\left(2+\sqrt7\right)x+2=0,$$
$$D=\left(2+\sqrt7\right)^2-16=4\sqrt7-3.$$
Следовательно,
$$x=\frac{2+\sqrt7\pm\sqrt{4\sqrt7-3}}{4}.$$
б) Преобразуем уравнение:
$$2x^4+x^3-3x^2+x+2=0,$$
$$2x^2+x-3+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}=0,$$
$$2\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)=7.$$
Положим $$y=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$2(y^2-2)+y=7,$$
$$2y^2+y-11=0.$$
Отсюда
$$D=1+88=89,$$
$$y=\frac{-1\pm\sqrt{89}}{4}.$$
Для каждого значения решаем уравнение
$$x+\frac{1}{x}=y \quad \Longleftrightarrow \quad x^2-yx+1=0.$$
Тогда
$$x=\frac{y\pm\sqrt{y^2-4}}{2}.$$
Подставляя найденные значения $$y$$, получаем все действительные корни уравнения.
в) Преобразуем:
$$x^4-2x^3-3x^2+4x+4=0,$$
$$x^2-2x-3+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}=0,$$
$$\left(x^2-4+\frac{4}{x^2}\right)-2\left(x-\frac{2}{x}\right)=-1.$$
Пусть
$$y=x-\frac{2}{x}.$$
Тогда
$$y^2=x^2-4+\frac{4}{x^2},$$
и получаем
$$y^2-2y=-1,$$
$$y^2-2y+1=0,$$
$$y=1.$$
Значит,
$$x-\frac{2}{x}=1,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=2.$$
г) Преобразуем уравнение:
$$x^4-4x^3-18x^2-12x+9=0,$$
$$x^2-4x-18-\frac{12}{x}+\frac{9}{x^2}=0,$$
$$\left(x^2+6+\frac{9}{x^2}\right)-4\left(x+\frac{3}{x}\right)=24.$$
Пусть
$$y=x+\frac{3}{x}.$$
Тогда
$$y^2=x^2+6+\frac{9}{x^2},$$
и получаем
$$y^2-4y=24,$$
$$y^2-4y-24=0,$$
$$y=2\pm2\sqrt7.$$
1) Если $$x+\frac{3}{x}=2-2\sqrt7,$$, то
$$x^2-(2-2\sqrt7)x+3=0,$$
дискриминант отрицателен, действительных корней нет.
2) Если $$x+\frac{3}{x}=2+2\sqrt7,$$, то
$$x^2-(2+2\sqrt7)x+3=0,$$
$$D=(2+2\sqrt7)^2-12=4(5+2\sqrt7).$$
Следовательно,
$$x=\frac{2+2\sqrt7\pm2\sqrt{5+2\sqrt7}}{2}=1+\sqrt7\pm\sqrt{5+2\sqrt7}.$$
Ответ
а) $$x=\frac{2+\sqrt7\pm\sqrt{4\sqrt7-3}}{4}$$; б) корни находятся из $$x+\frac{1}{x}=\frac{-1\pm\sqrt{89}}{4}$$; в) $$x=-1,\ 2$$; г) $$x=1+\sqrt7\pm\sqrt{5+2\sqrt7}$$.
