Упр.107 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Исследуйте функцию и постройте её график:
а) $$y=\frac{1}{2}+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$;
б) $$y=\frac{1}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$;
в) $$y=1+\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$;
г) $$y=1-\operatorname{tg}(2x)$$.
а) $$y=\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty),\qquad E(y)=\left[-\frac12;\frac32\right].$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Периодическая, период $$T=2\pi.$$
Нули функции:
$$\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12$$
$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на
$$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],$$
убывает на
$$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right].$$
Максимум и минимум:
$$y_{\max}=\frac32 \text{ при } x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$y_{\min}=-\frac12 \text{ при } x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
б) $$y=\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$
$$D(y)=\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период $$T=2\pi.$$
Вертикальные асимптоты:
$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Нуль функции:
$$\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на всей области определения:
$$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$
в) $$y=1+\frac12\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$
Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ то
$$y=1+\frac12\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty),\qquad E(y)=\left[\frac12;\frac32\right].$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период $$T=2\pi.$$
Функция положительна на всей области определения.
Возрастает на
$$\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],$$
убывает на
$$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$
Максимум и минимум:
$$y_{\max}=\frac32 \text{ при } x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$
$$y_{\min}=\frac12 \text{ при } x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
г) $$y=1-\tg 2x$$
$$D(y)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период $$T=\frac{\pi}{2}.$$
Вертикальные асимптоты:
$$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$
Нуль функции:
$$1-\tg 2x=0$$
$$\tg 2x=1$$
$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает на каждом промежутке области определения:
$$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$
