Упр.107 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=1/2+sin(x-?/6); б) y=1/2tg(x/2-?/3);
в) y=1+1/2cos(?/4-x); г) y=1-tg(2x).
а) $$y=\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то
$$-\frac12\le y\le \frac32,$$ значит $$E(y)=\left[-\frac12;\frac32\right].$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период: $$T=2\pi.$$
Нули функции найдём из уравнения
$$\frac12+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12.$$
Отсюда
$$x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$
то есть
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает там, где возрастает синус:
$$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],$$
и убывает на
$$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Максимум: $$y_{\max}=\frac32$$ при $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Минимум: $$y_{\min}=-\frac12$$ при $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
б) $$y=\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$
Область определения задаётся условием, что аргумент тангенса не равен $$\frac{\pi}{2}+\pi n$$:
$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Отсюда
$$x\ne \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$
Значит,
$$D(y)=\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Так как $$\tg t$$ принимает любые действительные значения, то
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период:
$$T=4\pi.$$
Нули функции:
$$\frac12\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0 \;\Rightarrow\; \tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$
$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pi n,$$
$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция возрастает на каждом промежутке области определения:
$$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$y=1+\frac12\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$
Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ то
$$y=1+\frac12\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Поскольку $$-1\le \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ получаем
$$\frac12\le y\le \frac32,$$ значит
$$E(y)=\left[\frac12;\frac32\right].$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период: $$T=2\pi.$$
Максимум достигается при
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
то есть
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$
и тогда $$y_{\max}=\frac32.$$
Минимум достигается при
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
то есть
$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$
и тогда $$y_{\min}=\frac12.$$
Функция возрастает на
$$\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],$$
и убывает на
$$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$y=1-\tg 2x$$
Область определения: $$\tg 2x$$ не существует при
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
значит
$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
Следовательно,
$$D(y)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Так как $$\tg t$$ принимает любые действительные значения, то
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. Период:
$$T=\frac{\pi}{2}.$$
Нули функции:
$$1-\tg 2x=0 \;\Rightarrow\; \tg 2x=1,$$
$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Функция убывает на каждом промежутке области определения:
$$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac12;\frac32\right],\ T=2\pi.$$
Нули: $$x=2\pi n,\ x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$
Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right].$$
б) $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right),\ E(y)=(-\infty;+\infty),\ T=4\pi.$$
Нули: $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right).$$
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[\frac12;\frac32\right],\ T=2\pi.$$
Максимум $$\frac32$$ при $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, минимум $$\frac12$$ при $$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$
Возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right].$$
г) $$D(y)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\ E(y)=(-\infty;+\infty),\ T=\frac{\pi}{2}.$$
Нули: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$
Убывает на $$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right).$$
