Упр.106 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте графики функций: а) $$y=\frac{|x|\sin(x)}{x}$$; б) $$y=(\sin(x)-\cos(x))^2$$; в) $$y=\cos(x)+|\cos(x)|$$; г) $$y=\sin(x)\operatorname{ctg}(x)$$.
а) $$y=\frac{|x|\sin x}{x}.$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит
$$y=\frac{x\sin x}{x}=\sin x.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит
$$y=\frac{-x\sin x}{x}=-\sin x.$$
Следовательно,
$$y=\begin{cases} \sin x, & x>0,\\ -\sin x, & x<0. \end{cases}$$
В точке $$x=0$$ функция не определена.
б) $$y=(\sin x-\cos x)^2.$$
Раскроем квадрат:
$$y=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x.$$
Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то
$$y=1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x.$$
в) $$y=\cos x+|\cos x|.$$
Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и тогда
$$y=2\cos x.$$
Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда
$$y=0.$$
Значит,
$$y=\begin{cases} 2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x<0. \end{cases}$$
г) $$y=\sin x\ctg x.$$
Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то при $$\sin x\ne 0$$
$$y=\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\cos x.$$
Но исходная функция не определена при $$\sin x=0,$$ то есть при $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Следовательно, график совпадает с графиком функции $$y=\cos x,$$ но в точках $$x=\pi k$$ нужно выколоть точки.
Ответ: а) $$y=\sin x$$ при $$x>0$$ и $$y=-\sin x$$ при $$x<0$$; б) $$y=1-\sin 2x$$; в) $$y=2\cos x$$ при $$\cos x\ge 0$$ и $$y=0$$ при $$\cos x<0$$; г) $$y=\cos x,$$ $$x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
