Упр.106 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для колебаний вида $$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$ амплитуда равна $$A$$, период вычисляется по формуле $$T=\frac{2\pi}{\omega}$$, а частота равна $$\nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$$.

1. $$x(t)=3{,}5\cos 4\pi t,\quad t_1=\frac{1}{12}\text{ c}.$$

   Амплитуда: $$A=3{,}5.$$

   Период: $$T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\text{ c}.$$

   Частота: $$\nu=\frac{1}{T}=2\text{ Гц}.$$

   Найдём координату в момент $$t_1$$:

   $$x\!\left(\frac{1}{12}\right)=3{,}5\cos\left(4\pi\cdot\frac{1}{12}\right)=3{,}5\cos\frac{\pi}{3}=3{,}5\cdot\frac{1}{2}=1{,}75.$$

2. $$x(t)=5\cos\left(3\pi t+\frac{\pi}{6}\right),\quad t_1=4{,}5\text{ c}.$$

   Амплитуда: $$A=5.$$

   Период: $$T=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}\text{ c}.$$

   Частота: $$\nu=\frac{1}{T}=\frac{3}{2}\text{ Гц}.$$

   Найдём координату в момент $$t_1$$:

   $$x(4{,}5)=5\cos\left(3\pi\cdot4{,}5+\frac{\pi}{6}\right)=5\cos\left(\frac{27\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=5\cos\left(12\pi+\frac{5\pi}{3}\right)=5\cos\frac{5\pi}{3}=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$

3. $$x(t)=1{,}5\cos 6\pi t,\quad t_1=1\frac{1}{3}\text{ c}=\frac{4}{3}\text{ c}.$$

   Амплитуда: $$A=1{,}5.$$

   Период: $$T=\frac{2\pi}{6\pi}=\frac{1}{3}\text{ c}.$$

   Частота: $$\nu=\frac{1}{T}=3\text{ Гц}.$$

   Найдём координату в момент $$t_1$$:

   $$x\!\left(\frac{4}{3}\right)=1{,}5\cos\left(6\pi\cdot\frac{4}{3}\right)=1{,}5\cos 8\pi=1{,}5\cdot 1=1{,}5.$$

4. $$x(t)=0{,}5\cos\left(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{3}\right),\quad t_1=8\text{ c}.$$

   Амплитуда: $$A=0{,}5.$$

   Период: $$T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\text{ c}.$$

   Частота: $$\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{4}\text{ Гц}.$$

   Найдём координату в момент $$t_1$$:

   $$x(8)=0{,}5\cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot 8+\frac{\pi}{3}\right)=0{,}5\cos\left(4\pi+\frac{\pi}{3}\right)=0{,}5\cos\frac{\pi}{3}=0{,}5\cdot\frac{1}{2}=0{,}25.$$

Ответ

а) $$A=3{,}5,\; T=\frac{1}{2}\text{ c},\; \nu=2\text{ Гц},\; x\!\left(\frac{1}{12}\right)=1{,}75.$$
б) $$A=5,\; T=\frac{2}{3}\text{ c},\; \nu=\frac{3}{2}\text{ Гц},\; x(4{,}5)=\frac{5}{2}.$$
в) $$A=1{,}5,\; T=\frac{1}{3}\text{ c},\; \nu=3\text{ Гц},\; x\!\left(\frac{4}{3}\right)=1{,}5.$$
г) $$A=0{,}5,\; T=4\text{ c},\; \nu=\frac{1}{4}\text{ Гц},\; x(8)=0{,}25.$$