Упр.105 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Постройте графики функций:

1. $$y=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$;
2. $$y=\sqrt{1-\cos^2(x)}$$;
3. $$y=1+2\cos(2x)$$;
4. $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2$$.

Используем тождества:

$$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}, \qquad 1-\cos^2 x=\sin^2 x.$$

Ход решения

а)

$$y=2\sin^2\frac{x}{2}=2\cdot \frac{1-\cos x}{2}=1-\cos x.$$

Это график функции $$y=-\cos x$$, сдвинутый вверх на $$1$$. Поэтому:

• область определения: $$D(y)=\mathbb{R}$$;
• область значений: $$0\le y\le 2$$;
• минимум $$y_{\min}=0$$ при $$x=2\pi k$$;
• максимум $$y_{\max}=2$$ при $$x=\pi+2\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$.

б)

$$y=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|.$$

График функции $$y=|\sin x|$$ получается из графика $$y=\sin x$$ отражением отрицательных частей относительно оси $$Ox$$. Поэтому:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$;
• $$0\le y\le 1$$;
• нули функции: $$x=\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$.

в)

$$y=1+2\cos 2x.$$

Это косинусоида с амплитудой $$2$$, периодом $$\pi$$ и сдвигом вверх на $$1$$. Следовательно:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$;
• $$-1\le y\le 3$$;
• максимум $$y_{\max}=3$$ при $$x=\pi k$$;
• минимум $$y_{\min}=-1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$.

г)

$$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2.$$

Это график функции $$y=\sin x$$, сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{3}$$ и вниз на $$2$$. Поэтому:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$;
• $$-3\le y\le -1$$;
• средняя линия графика: $$y=-2$$;
• максимум $$y_{\max}=-1$$ при $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}+2\pi k$$;
• минимум $$y_{\min}=-3$$ при $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{2}+2\pi k$$, $$k\in\mathbb{Z}$$.

Ответ

а) $$y=1-\cos x$$;
б) $$y=|\sin x|$$;
в) $$y=1+2\cos 2x$$;
г) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-2$$.