Упр.105 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения: а) $$(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40$$; б) $$(x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1)$$; в) $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=100$$; г) $$x^4+(x+2)^4=17$$.

1. $$(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40$$

   Сгруппируем множители:

   $$(x^2+6x+5)(x^2+6x+8)=40$$

   Пусть $$y=x^2+6x+5$$, тогда $$x^2+6x+8=y+3$$. Получаем:

   $$y(y+3)=40$$

   $$y^2+3y-40=0$$

   $$(y+8)(y-5)=0$$

   Отсюда $$y=-8$$ или $$y=5$$.

   1) Если $$x^2+6x+5=-8$$, то

   $$x^2+6x+13=0$$

   $$D=36-52=-16<0$$

   Действительных корней нет.

   2) Если $$x^2+6x+5=5$$, то

   $$x^2+6x=0$$

   $$x(x+6)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-6$$

2. $$(x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1)$$

   Пусть $$y=x+1$$. Тогда $$x-1=y-2$$, $$x+3=y+2$$, и уравнение принимает вид:

   $$(y-2)^5+(y+2)^5=242y$$

   Раскроем скобки:

   $$2y^5+80y^3+160y=242y$$

   $$2y^5+80y^3-82y=0$$

   $$2y(y^4+40y^2-41)=0$$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y^4+40y^2-41=0$$.

   Пусть $$z=y^2$$. Тогда:

   $$z^2+40z-41=0$$

   $$D=40^2+4\cdot 41=1764$$

   $$z=\frac{-40\pm 42}{2}$$

   $$z_1=1,\quad z_2=-41$$

   Так как $$z=y^2\ge 0$$, имеем $$y^2=1$$, значит $$y=\pm 1$$, а также $$y=0$$.

   Возвращаясь к $$x$$:

   $$x+1=-1 \Rightarrow x=-2$$

   $$x+1=1 \Rightarrow x=0$$

   $$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$

3. $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=100$$

   Сгруппируем множители:

   $$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=100$$

   Пусть $$y=x^2+5x+5$$. Тогда $$x^2+5x+4=y-1$$, $$x^2+5x+6=y+1$$, и получаем:

   $$(y-1)(y+1)=100$$

   $$y^2-1=100$$

   $$y^2=101$$

   $$y=\pm \sqrt{101}$$

   1) Если $$x^2+5x+5=\sqrt{101}$$, то

   $$x^2+5x+5-\sqrt{101}=0$$

   $$D=25-4(5-\sqrt{101})=5+4\sqrt{101}$$

   $$x=\frac{-5\pm \sqrt{5+4\sqrt{101}}}{2}$$

   2) Если $$x^2+5x+5=-\sqrt{101}$$, то

   $$x^2+5x+5+\sqrt{101}=0$$

   $$D=25-4(5+\sqrt{101})=5-4\sqrt{101}<0$$

   Действительных корней нет.

4. $$x^4+(x+2)^4=17$$

   Пусть $$y=x+1$$. Тогда $$x=y-1$$, $$x+2=y+1$$, и уравнение принимает вид:

   $$(y-1)^4+(y+1)^4=17$$

   Раскроем скобки:

   $$2y^4+12y^2+2=17$$

   $$2y^4+12y^2-15=0$$

   Пусть $$z=y^2$$. Тогда:

   $$2z^2+12z-15=0$$

   $$D=12^2+4\cdot 2\cdot 15=264$$

   $$z=\frac{-12\pm \sqrt{264}}{4}=\frac{-12\pm 2\sqrt{66}}{4}=-3\pm \frac{\sqrt{66}}{2}$$

   Так как $$z=y^2\ge 0$$, подходит только

   $$y^2=-3+\frac{\sqrt{66}}{2}$$

   Следовательно,

   $$y=\pm \sqrt{-3+\frac{\sqrt{66}}{2}}$$

   Возвращаясь к $$x$$:

   $$x=-1\pm \sqrt{-3+\frac{\sqrt{66}}{2}}$$

Ответ

а) $$x=-6,\ 0$$;
б) $$x=-2,\ -1,\ 0$$;
в) $$x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5+4\sqrt{101}}}{2}$$;
г) $$x=-1\pm \sqrt{-3+\dfrac{\sqrt{66}}{2}}$$.