Упр.105 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac12\tg 2x$$

Область определения: $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$D(f)=\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n;\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Область значений: $$E(f)=\mathbb R.$$

Функция нечётная.

Нули функции:

$$\frac12\tg 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; \tg 2x=0 \;\Longleftrightarrow\; 2x=\pi n \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат: $$f(0)=0.$$

Функция возрастает на каждом промежутке области определения.

б) $$f(x)=-3\cos\frac{3x}{2}$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$

Так как $$-1\le \cos\frac{3x}{2}\le 1,$$ то

$$-3\le -3\cos\frac{3x}{2}\le 3.$$

Следовательно,

$$E(f)=[-3;3].$$

Функция чётная.

Нули функции:

$$-3\cos\frac{3x}{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \cos\frac{3x}{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат: $$f(0)=-3.$$

Максимум функции равен $$3$$ и достигается при

$$\frac{3x}{2}=\pi+2\pi n \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимум функции равен $$-3$$ и достигается при

$$\frac{3x}{2}=2\pi n \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{4\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$f(x)=-2\ctg\frac{x}{3}$$

Область определения: $$\pi n<\frac{x}{3}<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$3\pi n<x<3\pi+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$D(f)=(3\pi n;\,3\pi+3\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

Область значений: $$E(f)=\mathbb R.$$

Функция нечётная.

Нули функции:

$$-2\ctg\frac{x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \ctg\frac{x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат не существует, так как $$x=0\notin D(f).$$

Функция возрастает на каждом промежутке области определения.

г) $$f(x)=2{,}5\sin\frac{4x}{3}$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$

Так как $$-1\le \sin\frac{4x}{3}\le 1,$$ то

$$-2{,}5\le 2{,}5\sin\frac{4x}{3}\le 2{,}5.$$

Следовательно,

$$E(f)=[-2{,}5;2{,}5].$$

Функция нечётная.

Нули функции:

$$2{,}5\sin\frac{4x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin\frac{4x}{3}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4x}{3}=\pi n$$

$$x=\frac{3\pi}{4}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точка пересечения с осью ординат: $$f(0)=0.$$

Максимум функции равен $$2{,}5$$ и достигается при

$$\frac{4x}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{3\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимум функции равен $$-2{,}5$$ и достигается при

$$\frac{4x}{3}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \;\Longleftrightarrow\; x=\frac{9\pi}{8}+\frac{3\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$