Упр.104 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): а) $$y=\cos(2x)+\sin^2(x)$$; б) $$y=1-4\sin(3x)$$; в) $$y=\sin(x)-\cos(x)$$; г) $$y=1+|\operatorname{tg}(x)|$$.
а) $$y=\cos 2x+\sin^2 x$$
Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$y=\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=\cos^2 x.$$
Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то
наибольшее значение функции равно $$1,$$ а наименьшее — $$0.$$
б) $$y=1-4\sin 3x$$
Поскольку $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ получаем:
$$-4\le -4\sin 3x\le 4,$$
$$-3\le 1-4\sin 3x\le 5.$$
Значит, наибольшее значение равно $$5,$$ наименьшее — $$-3.$$
в) $$y=\sin x-\cos x$$
Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:
$$y=\sqrt2\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt2}{2}\right) =\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right).$$
Тогда
$$y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Следовательно,
$$-\sqrt2\le y\le \sqrt2.$$
Наибольшее значение равно $$\sqrt2,$$ наименьшее — $$-\sqrt2.$$
г) $$y=1+|\tg x|$$
Так как $$|\tg x|\ge 0,$$ то
$$y=1+|\tg x|\ge 1.$$
Наименьшее значение равно $$1.$$
Наибольшего значения функция не имеет, так как $$|\tg x|$$ не ограничена сверху.
Ответ
а) $$\max y=1,\ \min y=0.$$
б) $$\max y=5,\ \min y=-3.$$
в) $$\max y=\sqrt2,\ \min y=-\sqrt2.$$
г) наименьшее значение $$1,$$ наибольшего нет.
