Упр.103 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=1+sin(x-?/6); б) y=2/(1-cos(x));
в) y=0,5cos(?/3-2x); г) y=v(1-sin^2(x)).

а) $$y=1+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Функция возрастает, когда $$y'(x)\ge 0$$, то есть

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Функция убывает, когда

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$

Минимум достигается при $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ максимум — при $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

б) $$y=\frac{2}{1-\cos x}.$$

Область определения: $$1-\cos x\ne 0,$$ значит $$x\ne 2\pi n.$$

Производная:

$$y'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}.$$

Так как знаменатель положителен при всех допустимых $$x,$$ знак производной определяется знаком $$-\sin x.$$

Следовательно, функция возрастает при $$\sin x\le 0,$$ то есть на промежутках

$$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n),$$

и убывает при $$\sin x\ge 0,$$ то есть на промежутках

$$[2\pi n;\,\pi+2\pi n).$$

В точке $$x=\pi+2\pi n$$ функция имеет минимум.

в) $$y=0{,}5\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right).$$

Функция возрастает, когда

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\ge 0,$$

то есть

$$-\pi+2\pi n\le \frac{\pi}{3}-2x\le 2\pi n.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{3}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Функция убывает на промежутках

$$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right].$$

Минимум: $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,$$ максимум: $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

г) $$y=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}=|\cos x|.$$

Производная на промежутках, где $$\cos x\ne 0,$$ имеет вид

$$y'(x)=-\sin 2x.$$

Функция возрастает, когда

$$-\sin 2x\ge 0,\quad \sin 2x\le 0,$$

то есть

$$-\pi+2\pi n\le 2x\le 2\pi n,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n.$$

Функция убывает на промежутках

$$[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n].$$

Минимум достигается при $$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ максимум — при $$x=\pi n.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right]$$;
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x_{\max}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

б) возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n)$$, убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n)$$;
$$x_{\min}=\pi+2\pi n.$$

в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right]$$;
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x_{\max}=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

г) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$;
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x_{\max}=\pi n.$$