Упр.103 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=4\cos 3x$$

   Функция $$\cos t$$ возрастает при $$-\pi+2\pi n \le t \le 2\pi n$$ и убывает при $$2\pi n \le t \le \pi+2\pi n$$, где $$n\in\mathbb Z$$.

   Положим $$t=3x$$. Тогда

   $$-\pi+2\pi n \le 3x \le 2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi n}{3}\right]$$

   — промежутки возрастания, а

   $$2\pi n \le 3x \le \pi+2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$

   — промежутки убывания.

   Максимумы достигаются при $$3x=2\pi n$$, то есть

   $$x_{\max}=\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Минимумы достигаются при $$3x=\pi+2\pi n$$, то есть

   $$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$f(x)=0{,}5\ctg\frac{x}{4}$$

   Функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке определения. Поэтому и функция $$0{,}5\ctg\frac{x}{4}$$ убывает на своей области определения.

   Область определения:

   $$\frac{x}{4}\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$x\ne 4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, функция убывает на промежутках

   $$x\in(4\pi n;4\pi+4\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точек максимума и минимума нет.

3. в) $$f(x)=2\tg\frac{x}{2}$$

   Функция $$\tg t$$ возрастает на каждом промежутке определения. Значит, и функция $$2\tg\frac{x}{2}$$ возрастает на своей области определения.

   Область определения:

   $$\frac{x}{2}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$x\ne \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, функция возрастает на промежутках

   $$x\in(-\pi+2\pi n;\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точек максимума и минимума нет.

4. г) $$f(x)=0{,}2\sin 4x$$

   Функция $$\sin t$$ возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$ и убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, где $$n\in\mathbb Z$$.

   Положим $$t=4x$$. Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 4x \le \frac{\pi}{2}+2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right]$$

   — промежутки возрастания, а

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 4x \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n \;\Rightarrow\; x\in\left[\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right]$$

   — промежутки убывания.

   Максимумы достигаются при $$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, то есть

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Минимумы достигаются при $$4x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, то есть

   $$x_{\min}=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi n}{3}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$;
$$x_{\max}=\frac{2\pi n}{3}$$, $$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$, $$n\in\mathbb Z$$.

б) убывает на $$\left(4\pi n;4\pi+4\pi n\right)$$; точек максимума и минимума нет.

в) возрастает на $$\left(-\pi+2\pi n;\pi+2\pi n\right)$$; точек максимума и минимума нет.

г) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right]$$;
$$x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$, $$x_{\min}=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.