Упр.103 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем свойства тригонометрических функций.

1. $$f(x)=4\cos 3x$$

   Функция $$\cos t$$ возрастает при $$-\pi+2\pi n \le t \le 2\pi n$$ и убывает при $$2\pi n \le t \le \pi+2\pi n$$, где $$n\in\mathbb Z$$.

   Положим $$t=3x$$. Тогда

   $$-\pi+2\pi n \le 3x \le 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x\in\left[-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi n}{3}\right],$$
   $$2\pi n \le 3x \le \pi+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x\in\left[\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right].$$

   Следовательно, функция $$f(x)=4\cos 3x$$

   • возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi n}{3}\right]$$;
   • убывает на $$\left[\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$.

   Максимум достигается при $$3x=2\pi n$$, то есть

   $$x_{\max}=\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   Минимум достигается при $$3x=\pi+2\pi n$$, то есть

   $$x_{\min}=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$f(x)=0{,}5\ctg \frac{x}{4}$$

   Функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке своей области определения:

   $$\pi n<t<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Положим $$t=\frac{x}{4}$$. Тогда

   $$4\pi n<x<4\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, функция $$f(x)=0{,}5\ctg \frac{x}{4}$$ убывает на каждом промежутке

   $$\left(4\pi n;\,4\pi+4\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точек максимума и минимума не существует.

3. $$f(x)=2\tg \frac{x}{2}$$

   Функция $$\tg t$$ возрастает на каждом промежутке своей области определения:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Положим $$t=\frac{x}{2}$$. Тогда

   $$-\pi+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, функция $$f(x)=2\tg \frac{x}{2}$$ возрастает на каждом промежутке

   $$\left(-\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Точек максимума и минимума не существует.

4. $$f(x)=0{,}2\sin 4x$$

   Функция $$\sin t$$ возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$ и убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, где $$n\in\mathbb Z$$.

   Положим $$t=4x$$. Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 4x \le \frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x\in\left[-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right],$$
   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 4x \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x\in\left[\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right].$$

   Следовательно, функция $$f(x)=0{,}2\sin 4x$$

   • возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right]$$;
   • убывает на $$\left[\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right]$$.

   Максимум достигается при $$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, то есть

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   Минимум достигается при $$4x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$, то есть

   $$x_{\min}=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$