Упр.102 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Среди данных функций укажите периодические и найдите наименьшие положительные периоды таких функций:

а) $$y=1-\sin(5x);$$

б) $$y=x\sin^2(x)-x\cos^2(x);$$

в) $$y=3\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right);$$

г) $$y=(\sin(x)+\cos(x))^2.$$

а) Функция $$y=1-\sin 5x$$ периодическая, так как синус — периодическая функция.

Найдём наименьший положительный период:

$$\sin(5(x+T))=\sin(5x+5T)=\sin 5x.$$

Значит,

$$5T=2\pi,\qquad T=\frac{2\pi}{5}.$$

б) $$y=x\sin^2 x-x\cos^2 x=x(\sin^2 x-\cos^2 x)=-x\cos 2x.$$

Здесь множитель $$x$$ не является периодическим, поэтому вся функция периодической не является.

в) $$y=3\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

У функции $$\tg x$$ период равен $$\pi$$, значит для аргумента $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}$$ получаем:

$$\frac{x+T}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}+\pi,$$

откуда

$$\frac{T}{2}=\pi,\qquad T=2\pi.$$

г) $$y=(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x.$$

Функция $$\sin 2x$$ имеет наименьший положительный период $$\pi$$, значит и функция $$y=1+\sin 2x$$ имеет период $$\pi$$.

Ответ

а) $$\frac{2\pi}{5}$$; б) не периодическая; в) $$2\pi$$; г) $$\pi$$.