Упр.102 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что если уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ и $$bx^2+cx+a=0$$ при $$a\ne0$$ имеют общий корень, то и уравнение $$cx^2+ax+b=0$$ имеет тот же корень.

Подробный ответ

Пусть $$x_0$$ — общий корень уравнений

$$ax^2+bx+c=0,$$

$$bx^2+cx+a=0.$$

Тогда при подстановке $$x_0$$ в оба уравнения получаем

$$ax_0^2+bx_0+c=0,$$

$$bx_0^2+cx_0+a=0.$$

Умножим первое равенство на $$x_0$$ и вычтем из него второе:

$$x_0(ax_0^2+bx_0+c)-(bx_0^2+cx_0+a)=0,$$

$$ax_0^3+bx_0^2+cx_0-bx_0^2-cx_0-a=0,$$

$$ax_0^3-a=0,$$

$$a(x_0^3-1)=0.$$

Так как $$a\ne 0,$$ то

$$x_0^3-1=0,$$

откуда

$$x_0^3=1.$$

Следовательно,

$$x_0^3-1=(x_0-1)(x_0^2+x_0+1)=0,$$

и, значит, $$x_0=1$$ или $$x_0^2+x_0+1=0.$$ Но для общего корня двух данных уравнений достаточно полученного равенства $$x_0^3=1.$$ Подставим $$x_0=1$$ в третье уравнение:

$$cx^2+ax+b=0 \quad \Rightarrow \quad c+a+b=0.$$

Из первого уравнения при $$x=1$$ также имеем

$$a+b+c=0.$$

Значит, $$x_0=1$$ является корнем уравнения

$$cx^2+ax+b=0.$$

Итак, если уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ и $$bx^2+cx+a=0$$ имеют общий корень, то и уравнение $$cx^2+ax+b=0$$ имеет тот же корень.