Упр.101 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Какие из данных функций являются чётными, какие нечётными:
   а) $$y=\operatorname{tg}(3x)-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right);$$
   б) $$y=\frac{\sin x\cos^2 x}{x};$$
   в) $$y=\sin\left(\frac{x^3-x}{x^2-1}\right);$$
   г) $$y=\frac{\sin x}{x}-\cos x?$$

Исследуем функции на чётность.

1. $$y=\tg 3x-\ctg \frac{x}{2}$$

   Область определения:

   $$3x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad \frac{x}{2}\ne \pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\tg(-3x)-\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)=-\tg 3x+\ctg \frac{x}{2}=-y(x).$$

   Значит, функция нечётная.

2. $$y=\frac{\sin x\cos^2 x}{x}$$

   Область определения:

   $$x\ne 0.$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\frac{\sin(-x)\cos^2(-x)}{-x}=\frac{\sin x\cos^2 x}{x}=y(x).$$

   Значит, функция чётная.

3. $$y=\sin\frac{x^3-x}{x^2-1}$$

   Область определения:

   $$x^2-1\ne 0,\qquad x\ne \pm 1.$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\sin\frac{-x^3+x}{x^2-1}=-\sin\frac{x^3-x}{x^2-1}=-y(x).$$

   Значит, функция нечётная.

4. $$y=\frac{\sin x}{x}-\cos x$$

   Область определения:

   $$x\ne 0.$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}-\cos(-x)=\frac{\sin x}{x}-\cos x=y(x).$$

   Значит, функция чётная.

Ответ: а) нечётная; б) чётная; в) нечётная; г) чётная.