Упр.101 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=3\cos 2x-1$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит

$$D(f)=\mathbb{R}.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$-3\le 3\cos 2x\le 3,$$

$$-4\le 3\cos 2x-1\le 2.$$

Следовательно,

$$E(f)=[-4;2].$$

б) $$f(x)=2-\ctg 3x$$

Функция котангенса не определена при $$3x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$ Поэтому

$$x\ne \frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит,

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi n}{3}\mid n\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Так как $$\ctg 3x$$ принимает любые действительные значения, то и функция $$2-\ctg 3x$$ тоже принимает любые действительные значения:

$$E(f)=\mathbb{R}.$$

в) $$f(x)=2\tg \frac{x}{2}$$

Тангенс не определён при

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{\pi+2\pi n\mid n\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Область значений тангенса — все действительные числа, значит

$$E(f)=\mathbb{R}.$$

г) $$f(x)=1+0{,}5\sin \frac{x}{2}$$

Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит

$$D(f)=\mathbb{R}.$$

Так как $$-1\le \sin \frac{x}{2}\le 1,$$ то

$$-0{,}5\le 0{,}5\sin \frac{x}{2}\le 0{,}5,$$

$$0{,}5\le 1+0{,}5\sin \frac{x}{2}\le 1{,}5.$$

Следовательно,

$$E(f)=[0{,}5;1{,}5].$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } D(f)=\mathbb{R},\quad E(f)=[-4;2];\\ &\text{б) } D(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi n}{3}\mid n\in \mathbb{Z}\right\},\quad E(f)=\mathbb{R};\\ &\text{в) } D(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{\pi+2\pi n\mid n\in \mathbb{Z}\right\},\quad E(f)=\mathbb{R};\\ &\text{г) } D(f)=\mathbb{R},\quad E(f)=[0{,}5;1{,}5]. \end{aligned}$$