Упр.10 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Найдите производную функции:
а) v(x)=5-2e^(4-3x); б) u(x)=3·5^(7x-1);
в) g(x)=e^(-3x); г) f(x)=(1/3)^(2x).
3) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) v(x)=e^(5x)-7e^(-4x); б) u(x)=5e^(0,7x);
в) g(x)=e^(-3x); г) f(x)=e^(2x).
Используем формулы производных показательной функции:
$$\left(e^x\right)’=e^x,$$
$$\left(a^x\right)’=a^x\ln a.$$
Найдём производные по правилам дифференцирования:
а) $$v(x)=5-2e^{4-3x},$$
$$v'(x)=-2\cdot \left(e^{4-3x}\right)’=-2\cdot e^{4-3x}\cdot(-3)=6e^{4-3x}.$$
б) $$u(x)=3\cdot 5^{7x-1},$$
$$u'(x)=3\cdot \left(5^{7x-1}\right)’=3\cdot 5^{7x-1}\ln 5\cdot 7=21\cdot 5^{7x-1}\ln 5.$$
в) $$g(x)=e^{-3x},$$
$$g'(x)=e^{-3x}\cdot(-3)=-3e^{-3x}.$$
г) $$f(x)=\left(\frac13\right)^{2x},$$
$$f'(x)=\left(\frac13\right)^{2x}\ln\frac13\cdot 2=\left(\frac13\right)^{2x}\cdot 2\ln\frac13.$$
Так как $$\ln\frac13=-\ln 3,$$ то
$$f'(x)=-\frac{2}{3^{2x}}\ln 3.$$
Найдём общий вид первообразных:
а) $$v(x)=e^{5x}-7e^{-4x},$$
$$F(x)=\int \left(e^{5x}-7e^{-4x}\right)\,dx=\frac15 e^{5x}+\frac74 e^{-4x}+C.$$
б) $$u(x)=5e^{0,7x},$$
$$F(x)=\int 5e^{0,7x}\,dx=5\cdot \frac{1}{0,7}e^{0,7x}+C=\frac{50}{7}e^{0,7x}+C.$$
в) $$g(x)=e^{-3x},$$
$$F(x)=\int e^{-3x}\,dx=-\frac13 e^{-3x}+C.$$
г) $$f(x)=e^{2x},$$
$$F(x)=\int e^{2x}\,dx=\frac12 e^{2x}+C.$$
Ответ
1) $$\left(e^x\right)’=e^x,\qquad \left(a^x\right)’=a^x\ln a.$$
2) а) $$v'(x)=6e^{4-3x};$$ б) $$u'(x)=21\cdot 5^{7x-1}\ln 5;$$ в) $$g'(x)=-3e^{-3x};$$ г) $$f'(x)=-\frac{2}{3^{2x}}\ln 3.$$
3) а) $$F(x)=\frac15 e^{5x}+\frac74 e^{-4x}+C;$$ б) $$F(x)=\frac{50}{7}e^{0,7x}+C;$$ в) $$F(x)=-\frac13 e^{-3x}+C;$$ г) $$F(x)=\frac12 e^{2x}+C.$$
