Упр.10 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Исследуйте с помощью производной функцию:
а) f(x)=x^4/4+x^3/3-x^2; б) f(x)=8/x+x/2;
в) f(x)=x^3-3x^2-9x; г) f(x)=x/(4-x^2).
3) Исследуйте по схеме функцию f и постройте ее график:
а) f(x)=x^2-2/x; б) f(x)=x^2 (x-2)^2;
в) f(x)=2x^2+3x-1; г) f(x)=x^3/3+x^2-3x+1.

1. Схема исследования функции:

   1. найти область определения и область значений;
   2. определить чётность и периодичность функции;
   3. найти точки пересечения с осями координат;
   4. исследовать промежутки знакопостоянства;
   5. найти промежутки монотонности;
   6. определить точки экстремума и значения функции в них;
   7. исследовать поведение функции в особых точках.

2. Исследуем функции с помощью производной.

   а) $$f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2$$

   $$D(x)=\mathbb{R}$$
   $$f(x)=0 \iff x^2\left(\frac{x^2}{4}+\frac{x}{3}-1\right)=0$$
   $$x=0,\quad 3x^2+4x-12=0$$
   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-12)=160$$
   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{160}}{6}=\frac{-2\pm 2\sqrt{10}}{3}$$

   Нули функции: $$x=\frac{-2-2\sqrt{10}}{3},\ 0,\ \frac{-2+2\sqrt{10}}{3}.$$

   $$f'(x)=x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1)$$
   $$f'(x)\ge 0 \iff x\in[-2;0]\cup[1;+\infty)$$

   Функция возрастает на $$[-2;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;1].$$

   $$f(-2)=\frac{16}{4}-\frac{8}{3}-4=-\frac{8}{3}$$
   $$f(0)=0$$
   $$f(1)=\frac14+\frac13-1=-\frac{5}{12}$$

   Точки экстремума: $$(-2;-\frac83),\ (0;0),\ (1;-\frac{5}{12}).$$

   б) $$f(x)=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}$$

   $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
   $$f(x)=0 \iff \frac{8}{x}+\frac{x}{2}=0 \iff 16+x^2=0$$

   Нулей нет.

   $$f'(x)=-\frac{8}{x^2}+\frac12=\frac{x^2-16}{2x^2}$$
   $$f'(x)\ge 0 \iff x^2-16\ge 0 \iff x\le -4 \ \text{или}\ x\ge 4$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$

   $$f(-4)=-2-2=-4$$
   $$f(4)=2+2=4$$

   Точки экстремума: $$(-4;-4),\ (4;4).$$

   Асимптоты: $$x=0,\ y=\frac{x}{2}.$$

   в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$

   $$D(x)=\mathbb{R}$$
   $$f(x)=0 \iff x(x^2-3x-9)=0$$
   $$x=0,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm 3\sqrt5}{2}$$

   Нули функции: $$x=\frac{3-3\sqrt5}{2},\ 0,\ \frac{3+3\sqrt5}{2}.$$

   $$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$$
   $$f'(x)\ge 0 \iff x\le -1 \ \text{или}\ x\ge 3$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;3].$$

   $$f(-1)=-1-3+9=5$$
   $$f(3)=27-27-27=-27$$

   Точки экстремума: $$(-1;5),\ (3;-27).$$

   г) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$

   $$D(x)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$
   $$f(x)=0 \iff x=0$$

   Точка пересечения с осями: $$ (0;0). $$

   $$f'(x)=\frac{4-x^2-x(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}>0$$

   Функция возрастает на каждом промежутке области определения: $$(-\infty;-2),\ (-2;2),\ (2;+\infty).$$

   Асимптоты: $$x=-2,\ x=2,\ y=0.$$

3. Исследуем функции по схеме и укажем основные характеристики графиков.

   а) $$f(x)=x^2-\frac{2}{x},\quad x\ne 0$$

   $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
   $$x^2-\frac{2}{x}=0 \iff x^3-2=0 \iff x=\sqrt[3]{2}$$

   Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(\sqrt[3]{2};0\right).$$

   $$f'(x)=2x+\frac{2}{x^2}=\frac{2(x^3+1)}{x^2}$$
   $$f'(x)\ge 0 \iff x\ge -1,\ x\ne 0$$

   Функция возрастает на $$[-1;0)\cup(0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1].$$

   $$f(-1)=1+2=3$$

   Минимум: $$(-1;3).$$ Асимптота: $$x=0.$$

   б) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$

   $$D(x)=\mathbb{R},\qquad E(y)=[0;+\infty)$$
   $$x^2(x-2)^2=0 \iff x=0 \ \text{или}\ x=2$$

   Нули функции: $$ (0;0),\ (2;0). $$

   $$f'(x)=2x(x-2)^2+2x^2(x-2)=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)$$
   $$f'(x)\ge 0 \iff x\in[0;1]\cup[2;+\infty)$$

   Функция убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2],$$ возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty).$$

   $$f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(2)=0$$

   Экстремумы: $$ (0;0),\ (1;1),\ (2;0). $$

   в) $$f(x)=2x^2+3x-1$$

   $$D(x)=\mathbb{R}$$
   $$E(y)=\left[-\frac{17}{8};+\infty\right)$$
   $$2x^2+3x-1=0$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$$

   Нули функции: $$\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{4};0\right),\ \left(\frac{-3+\sqrt{17}}{4};0\right).$$

   $$f'(x)=4x+3$$
   $$f'(x)=0 \iff x=-\frac34$$

   Функция убывает на $$(-\infty;-\frac34],$$ возрастает на $$[-\frac34;+\infty).$$

   $$f\!\left(-\frac34\right)=2\cdot\frac{9}{16}+3\cdot\left(-\frac34\right)-1=-\frac{17}{8}$$

   Минимум: $$\left(-\frac34;-\frac{17}{8}\right).$$

   г) $$f(x)=\frac{x^3}{3}+x^2-3x+1$$

   $$D(x)=E(y)=\mathbb{R}$$
   $$f'(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$
   $$f'(x)\ge 0 \iff x\le -3 \ \text{или}\ x\ge 1$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-3;1].$$

   $$f(-3)=\frac{-27}{3}+9+9+1=10$$
   $$f(1)=\frac13+1-3+1=-\frac23$$

   Точки экстремума: $$(-3;10),\ (1;-\frac23).$$

Ответ

1) Схема исследования функции: область определения и значений; чётность и периодичность; пересечения с осями; знакопостоянство; монотонность; экстремумы; поведение в особых точках.

2) а) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=\left[-\frac83;+\infty\right),$$ возрастает на $$[-2;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;1].$$

б) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$

в) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=\mathbb{R},$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;3].$$

г) $$D(x)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),$$ функция возрастает на каждом промежутке области определения.

3) а) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=\mathbb{R},$$ асимптота $$x=0.$$

б) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=[0;+\infty).$$

в) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=\left[-\frac{17}{8};+\infty\right).$$

г) $$D(x)=\mathbb{R},\ E(y)=\mathbb{R}.$$