Упр.10 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите:
а) cos(?/2), если cos(?)=1/3, 3?/2 < ? < 2?; б) tg(?/2), если sin(?)=-2/3, ? < ? < 3?/2; в) sin(?/2), если sin(?)=-3/7, ? < ? < 3?/2; г) ctg(?/2), если cos(?)=2/5, 3?/2 < ? < 2?. 3) Упростите выражение: а) sin(?)/(1+cos(?))·ctg(?/2)-sin^2(?); б) sin(2?)/(1+cos(2?))·cos(?)/(1+cos(?)); в) (1-cos(?))/sin(?); г) sin(?)/(1+cos(?)).

1. Формулы половинного аргумента:

   $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2},\qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2},\qquad \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$$

   $$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},\qquad \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

2. а) $$\cos\frac{\alpha}{2},\quad \cos\alpha=\frac13,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   $$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac13}{2}=\frac23$$

   Так как $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi,$$ значит $$\cos\frac{\alpha}{2}<0.$$

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac23}=-\frac{\sqrt6}{3}$$

   б) $$\tg\frac{\alpha}{2},\quad \sin\alpha=-\frac23,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac49}=-\frac{\sqrt5}{3}$$

   $$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{-\frac23}{1-\frac{\sqrt5}{3}} =\frac{-2}{3-\sqrt5} =-\frac{3+\sqrt5}{2}$$

   в) $$\sin\frac{\alpha}{2},\quad \sin\alpha=-\frac37,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{49}}=-\sqrt{\frac{40}{49}}=-\frac{2\sqrt{10}}{7}$$

   $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} =\frac{1+\frac{2\sqrt{10}}{7}}{2} =\frac{7+2\sqrt{10}}{14}$$

   Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ значит $$\sin\frac{\alpha}{2}>0.$$

   $$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}}$$

   г) $$\ctg\frac{\alpha}{2},\quad \cos\alpha=\frac25,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   $$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{4}{25}}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

   $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{1+\frac25}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} =-\frac{7}{\sqrt{21}} =-\frac{\sqrt{21}}{3}$$

3. а)

   $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}-\sin^2\alpha =\tg\frac{\alpha}{2}\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}-\sin^2\alpha$$

   $$=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$$

   б)

   $$\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} =\tg\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$$

   $$=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\tg\frac{\alpha}{2}$$

   в)

   $$\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\tg\frac{\alpha}{2}$$

   г)

   $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tg\frac{\alpha}{2}$$

Ответ

1) $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2},\ \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2},\ \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},\ \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},\ \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

2) а) $$-\frac{\sqrt6}{3}$$; б) $$-\frac{3+\sqrt5}{2}$$; в) $$\sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}}$$; г) $$-\frac{\sqrt{21}}{3}$$.

3) а) $$\cos^2\alpha$$; б) $$\tg\frac{\alpha}{2}$$; в) $$\tg\frac{\alpha}{2}$$; г) $$\tg\frac{\alpha}{2}$$.