Упр.10 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Формулы половинного аргумента:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2},$$
$$\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}, \qquad \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, \qquad \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

2) Найдём значения:

1. $$\cos\frac{\alpha}{2}, \quad \cos\alpha=\frac13,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   $$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1+\frac13}{2}=\frac23,$$
   $$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

   Так как $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\pi,$$ и косинус отрицателен, значит

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt6}{3}.$$

2. $$\tg\frac{\alpha}{2}, \quad \sin\alpha=-\frac23,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac49}=-\frac{\sqrt5}{3}.$$

   $$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{-\frac23}{1-\frac{\sqrt5}{3}} =\frac{-2}{3-\sqrt5} =-\frac{3+\sqrt5}{2}.$$

3. $$\sin\frac{\alpha}{2}, \quad \sin\alpha=-\frac37,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{49}}=-\frac{2\sqrt{10}}{7}.$$

   $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} =\frac{1+\frac{2\sqrt{10}}{7}}{2} =\frac{7+2\sqrt{10}}{14}.$$

   Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4},$$ следовательно, $$\sin\frac{\alpha}{2}>0.$$ Тогда

   $$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}}.$$

4. $$\ctg\frac{\alpha}{2}, \quad \cos\alpha=\frac25,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   $$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{4}{25}}=-\frac{\sqrt{21}}{5}.$$

   $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{1-\frac25}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} =-\frac{3}{\sqrt{21}} =-\frac{\sqrt{21}}{7}.$$

3) Упростим выражения:

1. $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot \ctg\frac{\alpha}{2}-\sin^2\alpha.$$

   Так как $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha},$$ то

   $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot \ctg\frac{\alpha}{2} =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

   Тогда

   $$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}-\sin^2\alpha =\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}-(1-\cos^2\alpha) =\cos^2\alpha.$$

2. $$\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

   Используем формулу $$\tg\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}.$$ Тогда

   $$\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} =\tg\alpha\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\tg\frac{\alpha}{2}.$$

3. $$\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

   По формуле половинного аргумента
   $$\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

4. $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

   По формуле половинного аргумента
   $$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tg\frac{\alpha}{2}.$$

Ответ

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2},\quad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2},\quad \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},\quad \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},\quad \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

2) а) $$-\frac{\sqrt6}{3};$$ б) $$-\frac{3+\sqrt5}{2};$$ в) $$\sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}};$$ г) $$-\frac{\sqrt{21}}{7}.$$

3) а) $$\cos^2\alpha;$$ б) $$\tg\frac{\alpha}{2};$$ в) $$\ctg\frac{\alpha}{2};$$ г) $$\tg\frac{\alpha}{2}.$$