Упр.10 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что для любого натурального числа $$N$$ существует ряд последовательных $$N$$ чисел, каждое из которых составное.

Рассмотрим число $$(N+1)!$$.

Тогда числа

$$(N+1)!+2,\ (N+1)!+3,\ \ldots,\ (N+1)!+(N+1)$$

образуют ряд из $$N$$ последовательных чисел.

Покажем, что каждое из них составное. Действительно, для любого $$k$$, где $$2 \le k \le N+1$$, число $$k$$ является делителем числа $$(N+1)!$$, значит

$$(N+1)!+k = k\left(\frac{(N+1)!}{k}+1\right).$$

Оба множителя больше $$1$$, следовательно, число $$(N+1)!+k$$ составное.

Значит, существует ряд из $$N$$ последовательных чисел, каждое из которых составное.

Ответ

Для любого натурального $$N$$ такой ряд существует, например $$(N+1)!+2,\ (N+1)!+3,\ \ldots,\ (N+1)!+(N+1)$$.