Упр.1 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 1. Докажите, что: а) если р — простое число и р > 3, то р^2-1 делится на 24; б) если a+b+c делится на 6, то a^3+b^3+c^3 делится на 6 (a, b, c — целые числа); в) если a^2+b^2 делится на 7, то a^2+b^2 делится и на 49 (a и b — целые числа); г) число n^2+5n+16 ни при каком целом n не делится на 169.

а) Пусть $$p>3$$ — простое число. Тогда $$p$$ не делится ни на $$2$$, ни на $$3$$, значит, $$p-1$$ и $$p+1$$ — два соседних чётных числа, одно из которых делится на $$4$$.

Следовательно, произведение $$ (p-1)(p+1)=p^2-1 $$ делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.

Значит, $$p^2-1$$ делится на $$24$$.

б) Если $$a+b+c$$ делится на $$6$$, то, в частности, $$a+b+c$$ делится на $$2$$ и на $$3$$.

Рассмотрим выражение

$$a^3+b^3+c^3-(a+b+c).$$

Так как для любого целого $$x$$ число $$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$ делится на $$6$$, то каждое из чисел $$a^3-a$$, $$b^3-b$$, $$c^3-c$$ делится на $$6$$. Тогда и их сумма делится на $$6$$:

$$a^3+b^3+c^3-(a+b+c)\ \text{делится на}\ 6.$$

Но $$a+b+c$$ делится на $$6$$, значит, и $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$.

в) Пусть $$a^2+b^2$$ делится на $$7$$. Тогда возможны только такие остатки квадратов по модулю $$7$$:

$$0,\ 1,\ 2,\ 4.$$

Чтобы сумма двух квадратов делилась на $$7$$, каждый из них должен делиться на $$7$$, то есть

$$a^2 \equiv 0 \pmod 7,\qquad b^2 \equiv 0 \pmod 7.$$

Следовательно, $$a$$ и $$b$$ делятся на $$7$$, а значит, $$a^2$$ и $$b^2$$ делятся на $$49$$. Тогда и сумма $$a^2+b^2$$ делится на $$49$$.

г) Преобразуем выражение:

$$n^2+5n+16=(n-4)^2+13n.$$

Рассмотрим число $$n$$ по модулю $$13$$. Если $$n=13k+r$$, где $$r=0,1,\dots,12$$, то

$$n^2+5n+16 \equiv r^2+5r+16 \pmod{13}.$$

Проверим остатки:

$$r^2+5r+16 \equiv r^2+5r+3 \pmod{13}.$$

Для $$r=0,1,\dots,12$$ это выражение не обращается в $$0$$ по модулю $$13$$, значит, число $$n^2+5n+16$$ не делится на $$13$$, а следовательно, не может делиться и на $$169=13^2$$.

Ответ

а) $$p^2-1$$ делится на $$24$$; б) $$a^3+b^3+c^3$$ делится на $$6$$; в) $$a^2+b^2$$ делится на $$49$$; г) $$n^2+5n+16$$ ни при каком целом $$n$$ не делится на $$169$$.