Упр.1 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Что такое приращение аргумента и приращение функции?
2. В чем состоит геометрический смысл приращений $$\Delta x$$ и $$\Delta f$$ и отношения $$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$?
3. Выразите $$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$ через $$x_0$$ и $$\Delta x$$:
   а) $$f(x)=x^2-x$$;
   б) $$f(x)=x^3+2$$;
   в) $$f(x)=3x-1$$;
   г) $$f(x)=\frac{2}{x}$$.

1) Пусть $$x$$ — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки $$x_0$$. Тогда разность $$x-x_0$$ называется приращением аргумента в точке $$x_0$$ и обозначается $$\Delta x$$, то есть

$$\Delta x=x-x_0.$$

Приращением функции называется

$$\Delta f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

2) Прямую, проходящую через любые две точки графика функции $$f$$, называют секущей к графику функции. Угловой коэффициент секущей, проходящей через точки $$\left(x_0;y_0\right)$$ и $$\left(x;y\right)$$, выражается через приращения так:

$$k=\tg \alpha=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

3) Найдём $$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ для каждой функции.

1. $$f(x)=x^2-x$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^2-(x_0+\Delta x)-\left(x_0^2-x_0\right)}{\Delta x}$$

   $$=\frac{x_0^2+2x_0\Delta x+\Delta x^2-x_0-\Delta x-x_0^2+x_0}{\Delta x} =2x_0+\Delta x-1.$$

2. $$f(x)=x^3+2$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^3+2-\left(x_0^3+2\right)}{\Delta x}$$

   $$=\frac{x_0^3+3x_0^2\Delta x+3x_0\Delta x^2+\Delta x^3+2-x_0^3-2}{\Delta x} =3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2.$$

3. $$f(x)=3x-1$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{3(x_0+\Delta x)-1-\left(3x_0-1\right)}{\Delta x} =\frac{3\Delta x}{\Delta x}=3.$$

4. $$f(x)=\frac{2}{x}$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{\frac{2}{x_0+\Delta x}-\frac{2}{x_0}}{\Delta x}$$

   $$=\frac{2x_0-2(x_0+\Delta x)}{x_0(x_0+\Delta x)\Delta x} =-\frac{2}{x_0(x_0+\Delta x)}.$$

Ответ

1) $$\Delta x=x-x_0,$$ $$\Delta f=f(x)-f(x_0).$$

2) $$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$ — угловой коэффициент секущей; геометрически это тангенс угла наклона секущей к оси $$Ox$$.

3) а) $$2x_0+\Delta x-1$$; б) $$3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2$$; в) $$3$$; г) $$-\dfrac{2}{x_0(x_0+\Delta x)}$$.