Упр.1 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) В чем состоит геометрический смысл приращений ?x и ?f? отношения ?f/?x?
3) Выразите ?f/?x через x_0 и ?x:
а) f(x)=x^2-x; б) f(x)=x^3+2;
в) f(x)=3x-1; г) f(x)=2/x.
1) Приращение аргумента в точке $$x_0$$ — это разность
$$\Delta x=x-x_0.$$
Приращение функции:
$$\Delta f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$
2) Геометрически $$\Delta x$$ — это приращение абсциссы, а $$\Delta f$$ — приращение ординаты. Отношение
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$
равно угловому коэффициенту секущей, проходящей через точки графика $$\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$$ и $$\bigl(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)\bigr).$$
3) Найдём $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ для каждой функции.
$$f(x)=x^2-x$$
$$ \begin{aligned} \frac{\Delta f}{\Delta x} &=\frac{(x_0+\Delta x)^2-(x_0+\Delta x)-\bigl(x_0^2-x_0\bigr)}{\Delta x} \\ &=\frac{x_0^2+2x_0\Delta x+\Delta x^2-x_0-\Delta x-x_0^2+x_0}{\Delta x} \\ &=\frac{2x_0\Delta x+\Delta x^2-\Delta x}{\Delta x} =2x_0+\Delta x-1. \end{aligned} $$
$$f(x)=x^3+2$$
$$ \begin{aligned} \frac{\Delta f}{\Delta x} &=\frac{(x_0+\Delta x)^3+2-(x_0^3+2)}{\Delta x} \\ &=\frac{x_0^3+3x_0^2\Delta x+3x_0\Delta x^2+\Delta x^3-x_0^3}{\Delta x} \\ &=\frac{3x_0^2\Delta x+3x_0\Delta x^2+\Delta x^3}{\Delta x} =3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2. \end{aligned} $$
$$f(x)=3x-1$$
$$ \begin{aligned} \frac{\Delta f}{\Delta x} &=\frac{3(x_0+\Delta x)-1-(3x_0-1)}{\Delta x} \\ &=\frac{3\Delta x}{\Delta x}=3. \end{aligned} $$
$$f(x)=\frac{2}{x}$$
$$ \begin{aligned} \frac{\Delta f}{\Delta x} &=\frac{\frac{2}{x_0+\Delta x}-\frac{2}{x_0}}{\Delta x} \\ &=\frac{2x_0-2(x_0+\Delta x)}{x_0(x_0+\Delta x)\Delta x} \\ &=\frac{-2\Delta x}{x_0(x_0+\Delta x)\Delta x} =-\frac{2}{x_0(x_0+\Delta x)}. \end{aligned} $$
Ответ
$$\Delta x=x-x_0,\qquad \Delta f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}$$
— угловой коэффициент секущей.
а) $$2x_0+\Delta x-1$$; б) $$3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2$$; в) $$3$$; г) $$-\frac{2}{x_0(x_0+\Delta x)}$$.
