Ответы на вопросы стр.151 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Антон и Борис из примера 2 решили по очереди бросать не монету, а кубик. Выигрывает тот, у кого первого выпадет 6 очков. С какой вероятностью Антон выиграет?
Обозначим вероятность выигрыша Антона как A
Вероятность того, что при броске кубика выпадет 6 очков (успех) p = 1/6.
Вероятность того, что при броске кубика не выпадет 6 очков (неуспех) q = 1 — p = 5/6.Антон и Борис бросают кубик по очереди. Первый бросок делает Ан-тон. Вероятность того, что Антон выигрывает с первого броска:P(А) = p = 1/6.
Если Антон не выиграл в своем первом броске (с вероятностью q = 5/6), то теперь бросает Борис. Вероятность того, что Борис не выиграет в своем броске также равна q = 5/6. Если Борис тоже не выиграл, то игра возвращается к Ан-тону, и это повторяется. На этом этапе вероятность того, что Антон выиграет, становится такой же, как изначально, но после двух неудач подряд:
P(выигрыш Антона после двух неудач) = P(неуспех Антона) * P(неуспех Бориса) * P(выигрыш Антона)
P(выигрыш Антона после двух неудач) = q * q * P(выигрыш Антона).
A = P(выигрыш Антона в первом броске) + P(неуспех Антона) * P(неуспех Бориса) * A
A = (1/6) + (5/6) * (5/6) * A = 1/6 + (25/36)A; (11/36)A = 1/6.
A = (1/6) / (11/36) = (1/6) * (36/11) = 6/11.
ответ:Вероятность того, что Антон выиграет, равна 6/11.
2. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы вероятность появления орла была больше 0,9?
Решение основано на том, что вероятность того, что одна монета окажется решкой (не орлом), равна 0,5. Для n монет эта вероятность равна 0,5n. Тогда вероятность получения хотя бы одного орла за n подбрасываний равна 1 — 0,5n. По условию, n должно быть таким, чтобы вероятность стала больше 0,9:
1 — 0,5n > 0,9.
3. Сколько кубиков нужно подбросить, чтобы вероятность появления хотя бы одной единицы была больше 0,9?
Для решения задачи нужно использовать понятие вероятности и биномиального распределения. Пусть n— количество кубиков, которые подбрасываются. Вероятность выпадения единицы на одном кубике равна p=1/6, а вероятность не выпадения единицы на одном кубике равна q=1-p=5/6. Вероятность того, что ни на одном из n кубиков не выпадет единица, равна qn=(5/6)n. Следовательно, вероятность того, что хотя бы на одном кубике выпадет единица, равна 1-qn=1-(5/6)n.
Требуется найти наименьшее n, при котором вероятность выпадения хотя бы одной единицы больше 0,9. То есть нужно решить неравенство:1-(5/6)n > 0.9 (5/6)n < 0.1 Для решения этого неравенства применим логарифмирование: log((5/6)n) < log(0.1) ; n > log(0.1)/log(5/6); n > -1-0.0792~12.626
Так как n должно быть целым числом, наименьшее значение n, удовлетворя-ющее неравенству, равно 13.

1. Обозначим через $$A$$ вероятность выигрыша Антона. Тогда

   $$p=\frac16,\quad q=1-p=\frac56.$$

   Антон выигрывает либо сразу, либо после двух неудач подряд, после чего ситуация повторяется:

   $$ A=\frac16+\frac56\cdot\frac56\cdot A $$

   $$ A=\frac16+\frac{25}{36}A $$

   $$ \frac{11}{36}A=\frac16 $$

   $$ A=\frac16\cdot\frac{36}{11}=\frac{6}{11} $$

2. Вероятность того, что при одном подбрасывании монеты орёл не выпадет, равна $$\frac12$$. Тогда вероятность того, что за $$n$$ подбрасываний орёл не появится ни разу, равна $$\left(\frac12\right)^n$$.

   Следовательно, вероятность появления хотя бы одного орла:

   $$ 1-\left(\frac12\right)^n $$

   Требуется:

   $$ 1-\left(\frac12\right)^n>0{,}9 $$

   $$ \left(\frac12\right)^n<0{,}1 $$

   Проверим целые значения:

   $$ \left(\frac12\right)^3=\frac18=0{,}125>0{,}1,\qquad \left(\frac12\right)^4=\frac1{16}=0{,}0625<0{,}1 $$

   Значит, нужно подбросить монету 4 раза.

3. Вероятность выпадения единицы на одном кубике равна $$\frac16$$, а вероятность не выпасть единице — $$\frac56$$.

   Тогда вероятность того, что ни на одном из $$n$$ кубиков не выпадет единица, равна

   $$ \left(\frac56\right)^n $$

   Следовательно, вероятность появления хотя бы одной единицы:

   $$ 1-\left(\frac56\right)^n $$

   Нужно, чтобы

   $$ 1-\left(\frac56\right)^n>0{,}9 $$

   $$ \left(\frac56\right)^n<0{,}1 $$

   Проверим ближайшие целые значения:

   $$ \left(\frac56\right)^{12}\approx 0{,}112>0{,}1,\qquad \left(\frac56\right)^{13}\approx 0{,}093<0{,}1 $$

   Значит, наименьшее подходящее число кубиков равно 13.

Ответ

1) $$\frac{6}{11}$$; 2) 4 раза; 3) 13 кубиков.