Ответы на вопросы стр.151 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Антон и Борис из примера 2 решили по очереди бросать не монету, а кубик. Выигрывает тот, у кого первого выпадет 6 очков. С какой вероятностью Антон выиграет?
2. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы вероятность появления орла была больше 0,9?
3. Сколько кубиков нужно подбросить, чтобы вероятность появления хотя бы одной единицы была больше 0,9?

1. Обозначим через $$A$$ вероятность выигрыша Антона. Тогда

   $$p=\frac16,\quad q=1-p=\frac56.$$

   Антон выигрывает либо сразу, либо после двух неудач подряд, после чего ситуация повторяется:

   $$A=\frac16+\frac56\cdot\frac56\cdot A$$

   $$A=\frac16+\frac{25}{36}A$$

   $$\frac{11}{36}A=\frac16$$

   $$A=\frac16\cdot\frac{36}{11}=\frac{6}{11}$$

2. Вероятность того, что при одном подбрасывании монеты орёл не выпадет, равна $$\frac12$$. Тогда вероятность того, что за $$n$$ подбрасываний орёл не появится ни разу, равна $$\left(\frac12\right)^n$$.

   Следовательно, вероятность появления хотя бы одного орла:

   $$1-\left(\frac12\right)^n$$

   Требуется:

   $$1-\left(\frac12\right)^n>0{,}9$$

   $$\left(\frac12\right)^n<0{,}1$$

   Проверим целые значения:

   $$\left(\frac12\right)^3=\frac18=0{,}125>0{,}1,\qquad \left(\frac12\right)^4=\frac1{16}=0{,}0625<0{,}1$$

   Значит, нужно подбросить монету 4 раза.

3. Вероятность выпадения единицы на одном кубике равна $$\frac16$$, а вероятность не выпасть единице — $$\frac56$$.

   Тогда вероятность того, что ни на одном из $$n$$ кубиков не выпадет единица, равна

   $$\left(\frac56\right)^n$$

   Следовательно, вероятность появления хотя бы одной единицы:

   $$1-\left(\frac56\right)^n$$

   Нужно, чтобы

   $$1-\left(\frac56\right)^n>0{,}9$$

   $$\left(\frac56\right)^n<0{,}1$$

   Проверим ближайшие целые значения:

   $$\left(\frac56\right)^{12}\approx 0{,}112>0{,}1,\qquad \left(\frac56\right)^{13}\approx 0{,}093<0{,}1$$

   Значит, наименьшее подходящее число кубиков равно 13.

Ответ

1) $$\frac{6}{11}$$; 2) 4 раза; 3) 13 кубиков.