Ответы на вопросы стр.145 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Задача

1.Монету бросают 5 раз. Какое число орлов наиболее вероятно?
Для k=0:P(X=0)=С50 (0.5)0(0.5)5=1*1*0.03125=0.03125
Для k=1:P(X=1)=С1 5(0.5)1(0.5)4=5*0.5*0.0625=0.15625
Для k=2:P(X=2)=С2 5(0.5)2(0.5)3=10*0.25*0.125=0.3125
Для k=3:P(X=3)=С3 5(0.5)3(0.5)2=10*0.125*0.25=0.3125
Для k=4:P(X=4)=С4 5(0.5)4(0.5)1=5*0.0625*0.5=0.15625
Для k=5:P(X=5)=С5 5(0.5)5(0.5)0=1*0.03125*1=0.03125
Теперь сравним полученные вероятности: наибольшие вероятности имеют k=2 и k=3, обе равны 0.3125. Таким образом, наиболее вероятное число орлов при бросании монеты 5 раз — это 2 или 3 орла.
2. Монету бросают 6 раз. Какое число орлов наиболее вероятно?
P(X=0)=С0 6(0.5)0(0.5)6=1*1*(0.5)6=0.015625
P(X=1)= С1 6 (0.5)1(0.5)5=6*0.5*(0.5)5=0.09375
P(X=2)= С2 6 (0.5)2(0.5)4=15*(0.5)2*(0.5)4=0.234375
P(X=3)= С3 6 (0.5)3(0.5)3=20*(0.5)3*(0.5)3=0.3125
P(X=4)= С4 6 (0.5)4(0.5)2=15*(0.5)4*(0.5)2=0.234375
P(X=5)= С5 6 (0.5)5(0.5)1=6*(0.5)5*0.5=0.09375
P(X=6)= С6 6 (0.5)6(0.5)0=1*(0.5)6*1=0.015625
Из рассмотренных вероятностей видно, что максимальная вероятность соответствует k=3.
3.Кубик бросают 6 раз. Какое число двоек наиболее вероятно?
Для k=0:P(X=0)=С0 6(1/6)0(5/6)6~0.335
Для k=1:P(X=1)= С1 6(1/6)1(5/6)5~0.402
Для k=2:P(X=2)= С2 6(1/6)2(5/6)4~0.201
Для k=3:P(X=3)= С3 6(1/6)3(5/6)3~0.058
Для k=4:P(X=4)= С4 6(1/6)4(5/6)2~0.008
Для k=5:P(X=5)= С5 6(1/6)5(5/6)1~0.0006
Для k=6:P(X=6)= С6 6(1/6)6(5/6)0~0.00002
Сравнивая все полученные вероятности, видно, что наибольшая вероятность соответствует k=1.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — число орлов при 5 бросках монеты. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с $$n=5$$ и $$p=\frac12$$.
Вероятность того, что выпадет ровно $$k$$ орлов:
$$P(X=k)=C_5^k\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{5-k}=C_5^k\left(\frac12\right)^5.$$
Так как $$\left(\frac12\right)^5$$ — общий множитель, достаточно сравнить коэффициенты $$C_5^k$$:
$$C_5^0=1,\; C_5^1=5,\; C_5^2=10,\; C_5^3=10,\; C_5^4=5,\; C_5^5=1.$$
Наибольшие значения достигаются при $$k=2$$ и $$k=3$$.
Пусть $$X$$ — число орлов при 6 бросках монеты. Тогда $$n=6$$, $$p=\frac12$$.
$$P(X=k)=C_6^k\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{6-k}=C_6^k\left(\frac12\right)^6.$$
Сравним коэффициенты:
$$C_6^0=1,\; C_6^1=6,\; C_6^2=15,\; C_6^3=20,\; C_6^4=15,\; C_6^5=6,\; C_6^6=1.$$
Наибольшее значение имеет $$C_6^3$$, значит, наиболее вероятно выпадение $$3$$ орлов.
Пусть $$X$$ — число выпадений двойки при 6 бросках кубика. Тогда $$n=6$$, $$p=\frac16$$.
Для биномиального распределения наиболее вероятное значение находится около $$np=\frac{6}{6}=1$$. Проверим:
$$P(X=k)=C_6^k\left(\frac16\right)^k\left(\frac56\right)^{6-k}.$$
Сравнение вероятностей показывает, что наибольшая вероятность соответствует $$k=1$$.