Упр.89 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

Докажите, что в полном графе с n вершинами количество рёбер равно $$\frac{n(n-1)}{2}$$.

В полном графе каждая вершина соединена ребром с каждой другой вершиной.

Посчитаем число рёбер. Для каждой из $$n$$ вершин можно выбрать вторую вершину, с которой она соединяется, $$n-1$$ способами. Тогда число всех упорядоченных пар вершин равно $$n(n-1)$$, но каждое ребро при таком подсчёте учитывается дважды: как пара $$AB$$ и как пара $$BA$$.

Значит, число рёбер в полном графе равно

$$\frac{n(n-1)}{2}.$$

Это же можно записать как число сочетаний из $$n$$ вершин по две:

$$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Ответ

$$\frac{n(n-1)}{2}$$